ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x+1{)}^2>0,\\ 2x+3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne -1,\\ x>-\frac{3}{2}.\end{array}$$

Упростим первый логарифм. Так как $4=2^2$, то ${\log }_{4}y=\frac{1}{2}{\log }_{2}y$. Кроме того, $(x+1{)}^2=|x+1{|}^2$, а $|x+1|>0$ на ОДЗ, поэтому показатель можно вынести:

$${\log }_4(x+1{)}^2=\frac{1}{2}{\log }_2|x+1{|}^2=\frac{1}{2}\cdot 2{\log }_2|x+1|={\log }_2|x+1|.$$

Модуль здесь обязателен: при $x<-1$ число $x+1$ отрицательно. Неравенство принимает вид

$$|{\log }_2|x+1|-2|+|{\log }_2(2x+3)-1|⩽3.$$

Найдём, где подмодульные выражения неотрицательны. Основание $2>1$, логарифм возрастает.

Первое: ${\log }_2|x+1|-2⩾0\iff |x+1|⩾4\iff x⩾3$ или $x⩽-5$. С учётом ОДЗ $x>-\frac{3}{2}$ остаётся $x⩾3$. На остальной части ОДЗ первое выражение отрицательно.

Второе: ${\log }_2(2x+3)-1⩾0\iff 2x+3⩾2\iff x⩾-\frac{1}{2}$. При $-\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2}$ оно отрицательно.

Точки $-\frac{1}{2}$ и $3$ делят ОДЗ на три части, на каждой раскроем модули:

Случай 1: $x⩾3$. Оба подмодульных выражения неотрицательны, модули раскрываем без смены знака. Здесь $x+1>0$, поэтому $|x+1|=x+1$:

$${\log }_2(x+1)-2+{\log }_2(2x+3)-1⩽3\iff {\log }_2(x+1)+{\log }_2(2x+3)⩽6.$$

Оба аргумента положительны, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а $6={\log }_{2}64$:

$${\log }_2((x+1)(2x+3))⩽{\log }_{2}64\iff (x+1)(2x+3)⩽64\iff 2x^2+5x-61⩽0.$$

Дискриминант $D=5^2+4\cdot 2\cdot 61=25+488=513$, корни $x=\frac{-5\pm \sqrt{513}}{4}$. Ветви параболы вверх, трёхчлен неположителен между корнями:

Сравним правый корень с $3$:

$$\frac{-5+\sqrt{513}}{4}\vee 3\iff \sqrt{513}\vee 17\iff 513\vee 289.$$

Так как $513>289$, правый корень больше $3$. Левый корень отрицателен. Значит, в первом случае

$$x\in \left[3;\frac{-5+\sqrt{513}}{4}\right].$$

**Случай 2: $-\frac{1}{2}⩽x<3$.** Первое подмодульное выражение отрицательно, его модуль раскрываем со сменой знака; второе неотрицательно. Здесь $x+1⩾\frac{1}{2}>0$, поэтому $|x+1|=x+1$:

$$2-{\log }_2(x+1)+{\log }_2(2x+3)-1⩽3\iff {\log }_2(2x+3)-{\log }_2(x+1)⩽2.$$

По свойству разности логарифмов и с учётом $2={\log }_{2}4$:

$${\log }_2\frac{2x+3}{x+1}⩽{\log }_{2}4\iff \frac{2x+3}{x+1}⩽4.$$

Перенесём $4$ влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x+3-4x-4}{x+1}⩽0\iff \frac{-2x-1}{x+1}⩽0\iff \frac{2x+1}{x+1}⩾0.$$

Нуль числителя $x=-\frac{1}{2}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-1$ выкалываем:

Решение: $x<-1$ или $x⩾-\frac{1}{2}$. Весь промежуток $\left[-\frac{1}{2};3\right)$ сюда входит, поэтому во втором случае

$$x\in \left[-\frac{1}{2};3\right).$$

Случай 3: $-\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2}$, $x\ne -1$. Оба подмодульных выражения отрицательны, оба модуля раскрываем со сменой знака:

$$2-{\log }_2|x+1|+1-{\log }_2(2x+3)⩽3\iff {\log }_2|x+1|+{\log }_2(2x+3)⩾0.$$

Покажем, что на этом промежутке левая часть всегда отрицательна. Оценим каждое слагаемое через его значение на правом конце $x=-\frac{1}{2}$.

Из $-\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2}$ следует $-\frac{1}{2}<x+1<\frac{1}{2}$, а так как $x\ne -1$, то $0<|x+1|<\frac{1}{2}$. Логарифм по основанию $2$ возрастает, поэтому ${\log }_2|x+1|<{\log }_2\frac{1}{2}=-1$.

Из того же условия $0<2x+3<2$, поэтому ${\log }_2(2x+3)<{\log }_{2}2=1$.

Складывая, получаем ${\log }_2|x+1|+{\log }_2(2x+3)<-1+1=0$. Значит, неравенство в третьем случае решений не имеет.

Объединим решения: $\left[-\frac{1}{2};3\right)\cup \left[3;\frac{-5+\sqrt{513}}{4}\right]=\left[-\frac{1}{2};\frac{-5+\sqrt{513}}{4}\right]$.

Ответ: $\left[-\frac{1}{2};\frac{-5+\sqrt{513}}{4}\right]$.