ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ \frac{9}{x}>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_{3}x\ne 0,\\ {\log }_3{x}^2\ne 0.\end{array}$$

При $x>0$ выражения $\frac{9}{x}$ и $x^2$ положительны. Условие ${\log }_{3}x\ne 0$ означает $x\ne 1$. Условие ${\log }_3{x}^2\ne 0$ означает $x^2\ne 1$, то есть $x\ne \pm 1$; при $x>0$ это снова $x\ne 1$. ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

Преобразуем неравенство на ОДЗ. По свойству логарифма частного ${\log }_3\frac{9}{x}={\log }_{3}9-{\log }_{3}x=2-{\log }_{3}x$. По свойству логарифма степени ${\log }_3{x}^2=2{\log }_{3}x$ — это верно, потому что $x>0$:

$$\frac{9}{{\log }_{3}x}-2+{\log }_{3}x⩽\frac{34}{2{\log }_{3}x}=\frac{17}{{\log }_{3}x}.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$, где $t\ne 0$:

$$\frac{9}{t}-2+t⩽\frac{17}{t}.$$

Знак $t$ неизвестен, поэтому на $t$ не умножаем. Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $t$:

$$\frac{9-2t+t^2-17}{t}⩽0\iff \frac{t^2-2t-8}{t}⩽0.$$

Корни числителя по теореме Виета: сумма $2$, произведение $-8$, это $-2$ и $4$. Значит,

$$\frac{(t+2)(t-4)}{t}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=-2$ и $t=4$ закрашиваем, нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. При $t>4$ дробь положительна, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $t⩽-2$ или $0<t⩽4$.

Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $3$: $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $0={\log }_{3}1$, $4={\log }_{3}81$. Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются (и $x>0$ по ОДЗ):

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x⩽{\log }_3\frac{1}{9},\\ {\log }_{3}1<{\log }_{3}x⩽{\log }_{3}81\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x⩽\frac{1}{9},\\ 1<x⩽81.\end{array}$$

Найденные значения входят в ОДЗ: точка $x=1$ уже исключена строгим неравенством.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{9}\right]\cup (1;81]$.