ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x\ne 2$ и $x\ne -2$.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем квадраты отдельно, дроби отдельно:

$$(x+2{)}^2-(x-2{)}^2-\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\right)⩽0.$$

Разность квадратов разложим по формуле $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$$(x+2{)}^2-(x-2{)}^2=((x+2)-(x-2))((x+2)+(x-2))=4\cdot 2x=8x.$$

Дроби сложим, приведя к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{2x}{x^2-4}.$$

Неравенство принимает вид

$$8x-\frac{2x}{x^2-4}⩽0.$$

Вынесем общий множитель $2x$ и приведём выражение в скобке к общему знаменателю:

$$2x\left(4-\frac{1}{x^2-4}\right)⩽0\iff 2x\cdot \frac{4\left(x^2-4\right)-1}{x^2-4}⩽0\iff \frac{2x\left(4x^2-17\right)}{x^2-4}⩽0.$$

Разложим на множители по формуле разности квадратов: $4x^2-17=\left(2x-\sqrt{17}\right)\left(2x+\sqrt{17}\right)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Разделим обе части на $2>0$:

$$\frac{x\left(2x-\sqrt{17}\right)\left(2x+\sqrt{17}\right)}{(x-2)(x+2)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=0$ и $x=\pm \frac{\sqrt{17}}{2}$ закрашиваем, нули знаменателя $x=\pm 2$ выкалываем. Определим порядок точек: $\sqrt{17}>\sqrt{16}=4$, значит, $\frac{\sqrt{17}}{2}>2$. Итак, $-\frac{\sqrt{17}}{2}<-2<0<2<\frac{\sqrt{17}}{2}$.

При $x>\frac{\sqrt{17}}{2}$ все множители положительны, все корни простые, поэтому знаки чередуются:

Выбираем промежутки со знаком «минус» и закрашенные точки.

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{\sqrt{17}}{2}\right]\cup (-2;0]\cup \left(2;\frac{\sqrt{17}}{2}\right]$.