ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение строго положительно; кроме того, $x+2\ne 0$:

$$\{\begin{array}{l}{x}^4-9x^2>0,\\ x+2\ne 0.\end{array}$$

Разложим: $x^4-9x^2=x^2\left(x^2-9\right)$. Множитель $x^2$ положителен при $x\ne 0$, поэтому нужно $x\ne 0$ и $x^2-9>0$, то есть $(x-3)(x+3)>0$:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$. Условие $x\ne -2$ выполнено автоматически.

Преобразуем знаменатель левой части. При неотрицательных множителях $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, а $\sqrt{x^2}=|x|$:

$$\sqrt{x^4-9x^2}=\sqrt{x^2\left(x^2-9\right)}=|x|\sqrt{x^2-9}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x}{|x|\sqrt{x^2-9}}⩾\frac{1}{x+2}.$$

Отношение $\frac{x}{|x|}$ равно $1$ при $x>0$ и $-1$ при $x<0$. Рассмотрим два случая — по двум частям ОДЗ.

Случай 1: $x>3$. Тогда $|x|=x$, и неравенство принимает вид

$$\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}⩾\frac{1}{x+2}.$$

Обе части положительны: корень положителен на ОДЗ, а $x+2>5$. Для положительных чисел $\frac{1}{a}⩾\frac{1}{b}$ равносильно $a⩽b$ (большей дроби соответствует меньший знаменатель):

$$\sqrt{x^2-9}⩽x+2.$$

Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$$x^2-9⩽x^2+4x+4\iff 4x⩾-13\iff x⩾-\frac{13}{4}.$$

Все $x>3$ этому условию удовлетворяют, поэтому в первом случае решение — весь луч:

Случай 2: $x<-3$. Тогда $|x|=-x$, $\frac{x}{|x|}=-1$:

$$-\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}⩾\frac{1}{x+2}.$$

Умножим обе части на $-1$, знак неравенства сменится:

$$\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}⩽-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{-x-2}.$$

При $x<-3$ имеем $-x-2>1>0$, так что обе части снова положительны. Для положительных чисел $\frac{1}{a}⩽\frac{1}{b}$ равносильно $a⩾b$:

$$\sqrt{x^2-9}⩾-x-2.$$

Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

$$x^2-9⩾(x+2{)}^2=x^2+4x+4\iff 4x⩽-13\iff x⩽-\frac{13}{4}.$$

Так как $-\frac{13}{4}=-3,25<-3$, с учётом условия $x<-3$ получаем $x⩽-\frac{13}{4}$:

Объединим решения двух случаев:

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{13}{4}\right]\cup (3;+\infty )$.