ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Под логарифмами стоят $x$, $\frac{x}{81}$, $\frac{x}{27}$, поэтому $x>0$. Знаменатели не равны нулю:

$${\log }_2\frac{x}{81}\ne 0\iff x\ne 81,{\log }_5\frac{x}{27}\ne 0\iff x\ne 27,4-{\log }_{3}x\ne 0\iff x\ne 81.$$

ОДЗ: $x\in (0;27)\cup (27;81)\cup (81;+\infty )$.

Перейдём к основанию $3$. По формуле перехода ${\log }_{c}b=\frac{{\log }_{3}b}{{\log }_{3}c}$ отношение двух логарифмов с одинаковым основанием не зависит от этого основания:

$$\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{3}b}{{\log }_{3}c}:\frac{{\log }_{3}a}{{\log }_{3}c}=\frac{{\log }_{3}b}{{\log }_{3}a}.$$

Поэтому

$$\frac{{\log }_{2}27}{{\log }_2\frac{x}{81}}=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_3\frac{x}{81}},\frac{{\log }_{5}9}{{\log }_5\frac{x}{27}}=\frac{{\log }_{3}9}{{\log }_3\frac{x}{27}}.$$

Здесь ${\log }_{3}27=3$, ${\log }_{3}9=2$. По свойству логарифма частного ${\log }_3\frac{x}{81}={\log }_{3}x-{\log }_{3}81={\log }_{3}x-4$ и ${\log }_3\frac{x}{27}={\log }_{3}x-3$.

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Из ОДЗ $t\ne 3$ (так как $x\ne 27$) и $t\ne 4$ (так как $x\ne 81$):

$$\frac{3}{t-4}⩽\left(1-\frac{1}{4-t}\right)\cdot \frac{2}{t-3}.$$

Упростим скобку, приведя к общему знаменателю, а затем умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$$1-\frac{1}{4-t}=\frac{4-t-1}{4-t}=\frac{3-t}{4-t}=\frac{t-3}{t-4}.$$

Правая часть равна $\frac{t-3}{t-4}\cdot \frac{2}{t-3}=\frac{2}{t-4}$. Сокращение на $t-3$ допустимо, так как $t\ne 3$; это условие сохраняем:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{t-4}⩽\frac{2}{t-4},\\ t\ne 3.\end{array}$$

Перенесём дробь в левую часть: $\frac{3}{t-4}-\frac{2}{t-4}=\frac{1}{t-4}⩽0$. Числитель равен $1>0$, дробь не может обратиться в нуль, поэтому неравенство выполняется ровно тогда, когда знаменатель отрицателен:

Получаем $t<4$. С учётом $t\ne 3$:

Сделаем обратную замену. Запишем $3={\log }_{3}27$, $4={\log }_{3}81$. Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, а $x>0$ по ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}81,\\ {\log }_{3}x\ne {\log }_{3}27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0<x<81,\\ x\ne 27.\end{array}$$

Все найденные значения входят в ОДЗ.

Ответ: $(0;27)\cup (27;81)$.