Решите неравенство log_0,5(x-3)/(x+3)+2log₄(x²-9)≥5 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием средняя 2026 развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{0, 5} \frac{x - 3}{x + 3} + 2 lo g_{4} (x^{2} - 9) ⩾ 5.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 3}{x + 3} > 0, (x - 3) (x + 3) > 0.$

Дробь $\frac{x - 3}{x + 3}$ и произведение $(x - 3) (x + 3)$ состоят из одних и тех же множителей, поэтому имеют одинаковый знак. Нули $x = - 3$ и $x = 3$ выкалываем, при больших $x$ выражения положительны:

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ .

Приведём логарифмы к основанию $2$ . Так как $0, 5 = 2^{- 1}$ и $4 = 2^{2}$ , по свойству $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ :

$lo g_{0, 5} \frac{x - 3}{x + 3} = - lo g_{2} \frac{x - 3}{x + 3}, 2 lo g_{4} (x^{2} - 9) = 2 \cdot \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} - 9) = lo g_{2} (x^{2} - 9) .$

Неравенство принимает вид

$lo g_{2} (x^{2} - 9) - lo g_{2} \frac{x - 3}{x + 3} ⩾ 5.$

На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому применим свойство разности логарифмов и сократим на $x - 3 \neq = 0$ :

$lo g_{2} ((x - 3) (x + 3) : \frac{x - 3}{x + 3}) = lo g_{2} ((x - 3) (x + 3) \cdot \frac{x + 3}{x - 3}) = lo g_{2} (x + 3)^{2} .$

Получаем

$lo g_{2} (x + 3)^{2} ⩾ 5.$

Запишем $5 = lo g_{2} 32$ . Основание $2 > 1$ , функция $y = lo g_{2} t$ возрастает, поэтому

$(x + 3)^{2} ⩾ 32.$

Перенесём $32$ влево и разложим разность квадратов, учитывая, что $32 = 42$ :

$(x + 3)^{2} - (42)^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow (x + 3 - 42) (x + 3 + 42) ⩾ 0.$

Корни $x = - 3 - 42$ и $x = - 3 + 42$ закрашиваем. Ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне интервала между корнями:

Метод интервалов

Получаем $x ⩽ - 3 - 42$ или $x ⩾ - 3 + 42$ .

Чтобы пересечь с ОДЗ, выясним, как расположены точки. Ясно, что $- 3 - 42 < - 3 < - 3 + 42$ . Сравним $- 3 + 42$ и $3$ :

$- 3 + 42 \lor 3 \Leftrightarrow 42 \lor 6 \Leftrightarrow 22 \lor 3 \Leftrightarrow 8 \lor 9.$

В последнем шаге возвели в квадрат положительные числа. Так как $8 < 9$ , получаем $- 3 + 42 < 3$ . Итак, порядок точек: $- 3 - 42 < - 3 < - 3 + 42 < 3$ .

Луч $(- \infty; - 3 - 42]$ целиком лежит в части ОДЗ $(- \infty; - 3)$ . От луча $[- 3 + 42; + \infty)$ в ОДЗ остаётся только $(3; + \infty)$ , так как промежуток $[- 3 + 42; 3]$ в ОДЗ не входит.

Решение на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - 3 - 42] \cup (3; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16