ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. Тогда $2^{x+4}=2^4\cdot 2^x=16t$ и $4^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$. Знаменатель правой части разложим по формуле разности квадратов: $t^2-64=(t-8)(t+8)$.

$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}⩾\frac{16t+96}{(t-8)(t+8)}.$$

Ограничения: $t\ne 8$ и $t\ne -8$; второе выполнено автоматически, так как $t>0$.

Знак знаменателя $t-8$ заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-8)(t+8)$:

$$\frac{(t+8{)}^2+(t-8{)}^2-(16t+96)}{(t-8)(t+8)}⩾0.$$

Раскроем квадраты: $(t+8{)}^2=t^2+16t+64$, $(t-8{)}^2=t^2-16t+64$. Числитель равен

$$t^2+16t+64+t^2-16t+64-16t-96=2t^2-16t+32=2\left(t^2-8t+16\right)=2(t-4{)}^2.$$

Получаем

$$\frac{2(t-4{)}^2}{(t-8)(t+8)}⩾0.$$

Так как $t>0$, множитель $t+8$ положителен. Умножим обе части на положительное число $\frac{t+8}{2}$, знак неравенства сохранится:

$$\frac{(t-4{)}^2}{t-8}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=4$ (второй кратности) закрашиваем, нуль знаменателя $t=8$ выкалываем. При $t>8$ дробь положительна. При переходе через $8$ знак меняется, а через $4$ — нет, так как множитель $(t-4{)}^2$ в чётной степени:

Получаем $t=4$ или $t>8$. Все эти значения положительны, так что условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем $4=2^2$, $8=2^3$. Основание $2>1$, функция $y=2^x$ возрастает и каждое значение принимает один раз:

$$[\begin{array}{l}{2}^x=2^2,\\ 2^x>2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2,\\ x>3.\end{array}$$

Ответ: $\{2\}\cup (3;+\infty )$.