ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$$4+3x-x^2>0\iff x^2-3x-4<0\iff (x+1)(x-4)<0.$$

Корни трёхчлена $x^2-3x-4$ по теореме Виета: сумма $3$, произведение $-4$, это $-1$ и $4$. Ветви параболы направлены вверх, она отрицательна между корнями:

ОДЗ: $x\in (-1;4)$.

Перейдём во втором логарифме к основанию $2$. Так как $0,5=2^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ имеем ${\log }_{0,5}u=-{\log }_{2}u$. Неравенство принимает вид

$${\log }_2^2\left(4+3x-x^2\right)-7{\log }_2\left(4+3x-x^2\right)+10>0.$$

Сделаем замену $y={\log }_2\left(4+3x-x^2\right)$:

$$y^2-7y+10>0.$$

Корни трёхчлена по теореме Виета: сумма $7$, произведение $10$, это $2$ и $5$. Получаем $(y-2)(y-5)>0$. Точки выкалываем, ветви параболы вверх, она положительна вне интервала между корнями:

Значит, $y<2$ или $y>5$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2\left(4+3x-x^2\right)<2,\\ {\log }_2\left(4+3x-x^2\right)>5.\end{array}$$

Запишем числа как логарифмы: $2={\log }_{2}4$, $5={\log }_{2}32$. Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, а аргумент на ОДЗ положителен. Поэтому каждое неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком.

Первое неравенство:

$$4+3x-x^2<4\iff x^2-3x>0\iff x(x-3)>0.$$

Получаем $x<0$ или $x>3$.

Второе неравенство:

$$4+3x-x^2>32\iff x^2-3x+28<0.$$

Дискриминант $D=9-112=-103<0$, ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен $x^2-3x+28$ положителен при всех $x$, и решений нет. Это видно и иначе: наибольшее значение выражения $4+3x-x^2$ достигается в вершине $x=\frac{3}{2}$ и равно $\frac{25}{4}$, что меньше $32$.

Объединяя, получаем $x<0$ или $x>3$. Пересечём с ОДЗ $(-1;4)$:

Ответ: $(-1;0)\cup (3;4)$.