ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: знаменатель не равен нулю, $3^x\ne 84$, то есть $x\ne {\log }_{3}84$.

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$t+\frac{243}{t-84}⩽0.$$

Знак знаменателя неизвестен, поэтому на него не умножаем. Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{t(t-84)+243}{t-84}⩽0\iff \frac{t^2-84t+243}{t-84}⩽0.$$

Корни числителя найдём по теореме, обратной теореме Виета: их сумма $84$, произведение $243$. Подходят $3$ и $81$, так как $3+81=84$ и $3\cdot 81=243$. Значит,

$$\frac{(t-3)(t-81)}{t-84}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=3$ и $t=81$ закрашиваем, нуль знаменателя $t=84$ выкалываем. При $t>84$ дробь положительна, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $t\in (-\infty ;3]\cup [81;84)$. Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ 81⩽t<84.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $3^x>0$ выполнено при всех $x$. Запишем границы как степени тройки: $3=3^1$, $81=3^4$, $84=3^{{\log }_{3}84}$. Основание $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^4⩽3^x<3^{{\log }_{3}84}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ 4⩽x<{\log }_{3}84.\end{array}$$

Здесь $4<{\log }_{3}84$, так как $3^4=81<84$.

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \left[4;{\log }_{3}84\right)$.