ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x+5}{x+3}>0,\\ (x+1{)}^2>0.\end{array}$$

В первом неравенстве нуль числителя $x=-5$, нуль знаменателя $x=-3$, обе точки выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, знаки чередуются:

Второе условие: квадрат положителен при $x\ne -1$. ОДЗ:

$$x\in (-\infty ;-5)\cup (-3;-1)\cup (-1;+\infty ).$$

Приведём логарифмы к основанию $3$ по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$. Так как $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ и $9=3^2$:

$${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+5}{x+3}=2{\log }_3\frac{x+5}{x+3},{\log }_9(x+1{)}^2=\frac{1}{2}{\log }_3(x+1{)}^2.$$

Кроме того, $1={\log }_{3}3$. Неравенство принимает вид

$${\log }_{3}3-{\log }_3\frac{x+5}{x+3}⩾\frac{1}{2}{\log }_3(x+1{)}^2.$$

На ОДЗ оба аргумента в левой части положительны, поэтому по свойству разности логарифмов

$${\log }_{3}3-{\log }_3\frac{x+5}{x+3}={\log }_3\left(3:\frac{x+5}{x+3}\right)={\log }_3\frac{3(x+3)}{x+5}.$$

Получаем

$${\log }_3\frac{3(x+3)}{x+5}⩾\frac{1}{2}{\log }_3(x+1{)}^2.$$

Умножим обе части на $2$ и внесём множитель $2$ под знак логарифма слева. Это можно сделать, потому что $2{\log }_{3}u={\log }_3{u}^2$ при $u>0$, а $u=\frac{3(x+3)}{x+5}$ на ОДЗ положительно:

$${\log }_3\frac{9(x+3{)}^2}{(x+5{)}^2}⩾{\log }_3(x+1{)}^2.$$

Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}t$ возрастает. Поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком (метод рационализации с постоянным основанием: ${\log }_{3}A-{\log }_{3}B$ имеет тот же знак, что и $(3-1)(A-B)$):

$$\frac{9(x+3{)}^2}{(x+5{)}^2}⩾(x+1{)}^2.$$

На ОДЗ $(x+5{)}^2>0$. Умножим на него обе части, знак сохранится, и перенесём всё влево:

$$9(x+3{)}^2-(x+1{)}^2(x+5{)}^2⩾0.$$

Слева разность квадратов $(3(x+3){)}^2-((x+1)(x+5){)}^2$. Разложим её по формуле $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$$(3x+9-(x+1)(x+5))(3x+9+(x+1)(x+5))⩾0.$$

Так как $(x+1)(x+5)=x^2+6x+5$, первая скобка равна $3x+9-x^2-6x-5=-\left(x^2+3x-4\right)$, а вторая равна $3x+9+x^2+6x+5=x^2+9x+14$. Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:

$$\left(x^2+3x-4\right)\left(x^2+9x+14\right)⩽0.$$

По теореме Виета $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$ (корни $-4$ и $1$), $x^2+9x+14=(x+2)(x+7)$ (корни $-2$ и $-7$):

$$(x+7)(x+4)(x+2)(x-1)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, все четыре точки закрашиваем. При $x>1$ произведение положительно, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $x\in [-7;-4]\cup [-2;1]$.

Пересечём с ОДЗ. От отрезка $[-7;-4]$ в ОДЗ остаётся только $[-7;-5)$, так как промежуток $[-5;-3]$ в ОДЗ не входит. Отрезок $[-2;1]$ лежит правее $-3$, из него выкалываем $x=-1$.

Ответ: $[-7;-5)\cup [-2;-1)\cup (-1;1]$.