ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём их решения.

Первое неравенство. Найдём ОДЗ: основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен:

$$\{\begin{array}{l}4-x>0,\\ 4-x\ne 1,\\ \frac{(x-4{)}^8}{x+5}>0.\end{array}$$

Из первых двух условий $x<4$ и $x\ne 3$. В третьем числитель $(x-4{)}^8$ неотрицателен и обращается в нуль только при $x=4$; при $x\ne 4$ он положителен, поэтому дробь положительна, когда $x+5>0$, $x\ne 4$. Итого ОДЗ:

$$x\in (-5;3)\cup (3;4).$$

Преобразуем неравенство на ОДЗ. Чётная степень не зависит от знака основания: $(x-4{)}^8=(4-x{)}^8$. Числитель и знаменатель дроби положительны, поэтому логарифм частного равен разности логарифмов:

$${\log }_{4-x}(4-x{)}^8-{\log }_{4-x}(x+5)⩾8.$$

По определению логарифма ${\log }_{4-x}(4-x{)}^8=8$. Получаем $8-{\log }_{4-x}(x+5)⩾8$, то есть

$${\log }_{4-x}(x+5)⩽0.$$

Основание переменное, поэтому применим метод рационализации. При $c>1$ логарифм ${\log }_{c}b$ отрицателен для $b<1$ и положителен для $b>1$, а при $0<c<1$ — наоборот. Произведение $(c-1)(b-1)$ меняет знак точно так же, поэтому на ОДЗ ${\log }_{c}b$ и $(c-1)(b-1)$ одного знака. Значит, на ОДЗ

$$(4-x-1)(x+5-1)⩽0\iff (3-x)(x+4)⩽0\iff (x-3)(x+4)⩾0.$$

В последнем переходе умножили на $-1$ и поменяли знак неравенства. Точки $-4$ и $3$ закрашиваем, ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне интервала между корнями:

Получаем $x\in (-\infty ;-4]\cup [3;+\infty )$. Пересечём с ОДЗ $(-5;3)\cup (3;4)$: остаются $(-5;-4]$ и $(3;4)$, точка $3$ выколота по ОДЗ.

Решение первого неравенства: $x\in (-5;-4]\cup (3;4)$.

Второе неравенство. Ограничения: $x\ne 4$, $x\ne 6$. Знаки знаменателей неизвестны, на них не умножаем. Перенесём $2x+1$ влево и приведём к общему знаменателю $(x-4)(x-6)$:

$$\frac{\left(x^2-3x-5\right)(x-6)+\left(x^2-6x+3\right)(x-4)-(2x+1)(x-4)(x-6)}{(x-4)(x-6)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\left(x^2-3x-5\right)(x-6)=x^3-9x^2+13x+30,$$

$$\left(x^2-6x+3\right)(x-4)=x^3-10x^2+27x-12,$$

$$(2x+1)(x-4)(x-6)=(2x+1)\left(x^2-10x+24\right)=2x^3-19x^2+38x+24.$$

Сумма первых двух выражений равна $2x^3-19x^2+40x+18$. Вычтем третье: кубы и квадраты сокращаются, остаётся $40x-38x+18-24=2x-6$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2(x-3)}{(x-4)(x-6)}⩽0\iff \frac{x-3}{(x-4)(x-6)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=3$ закрашиваем, нули знаменателя $x=4$ и $x=6$ выкалываем. При $x>6$ дробь положительна, корни простые, знаки чередуются:

Решение второго неравенства: $x\in (-\infty ;3]\cup (4;6)$.

Пересечение. Промежуток $(-5;-4]$ целиком лежит в $(-\infty ;3]$. Промежуток $(3;4)$ не пересекается ни с $(-\infty ;3]$, ни с $(4;6)$, поэтому из него ничего не остаётся.

Ответ: $(-5;-4]$.