ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$. Выразим все слагаемые через $t$: $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$, $3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t$. Тогда $5\cdot 3^{x+1}=15t$ и $3\cdot 3^{x+1}=9t$:

$$\frac{t^2-15t+41}{t-4}+\frac{9t-39}{t-5}⩾t-2.$$

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 4$ и $t\ne 5$.

Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому на них не умножаем. Перенесём $t-2$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-4)(t-5)$:

$$\frac{\left(t^2-15t+41\right)(t-5)+(9t-39)(t-4)-(t-2)(t-4)(t-5)}{(t-4)(t-5)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе по отдельности:

$$\left(t^2-15t+41\right)(t-5)=t^3-20t^2+116t-205,$$

$$(9t-39)(t-4)=9t^2-75t+156,$$

$$(t-2)(t-4)(t-5)=(t-2)\left(t^2-9t+20\right)=t^3-11t^2+38t-40.$$

Сложим первые два выражения и вычтем третье. Кубы и квадраты взаимно уничтожаются: $t^3-t^3=0$, $-20t^2+9t^2+11t^2=0$. Остаётся

$$(116-75-38)t+(-205+156+40)=3t-9=3(t-3).$$

Разделим неравенство на $3>0$:

$$\frac{t-3}{(t-4)(t-5)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, нули знаменателя $t=4$ и $t=5$ выкалываем. При $t>5$ дробь положительна, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $t\in [3;4)\cup (5;+\infty )$. Все эти значения положительны, так что условие $t>0$ выполнено:

$$[\begin{array}{l}3⩽t<4,\\ t>5.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем границы как степени тройки: $3=3^1$, $4=3^{{\log }_{3}4}$, $5=3^{{\log }_{3}5}$. Основание $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^1⩽3^x<3^{{\log }_{3}4},\\ 3^x>3^{{\log }_{3}5}\end{array}\iff [\begin{array}{l}1⩽x<{\log }_{3}4,\\ x>{\log }_{3}5.\end{array}$$

Порядок точек: $1<{\log }_{3}4<{\log }_{3}5$, так как $3<4<5$.

Ответ: $\left[1;{\log }_{3}4\right)\cup \left({\log }_{3}5;+\infty \right)$.