ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Обозначим основание $a=x^2-8x+17$ и выделим полный квадрат:

$$a=x^2-8x+16+1=(x-4{)}^2+1⩾1.$$

Найдём ОДЗ. Основания логарифмов $a$ и $a^2$ должны быть положительны и не равны единице, аргументы — положительны:

$$\{\begin{array}{l}a>0,a\ne 1,\\ a^2>0,a^2\ne 1,\\ 3x^2+5>0,\\ 2x^2+7x+5>0.\end{array}$$

Так как $a⩾1$, условия $a>0$ и $a^2>0$ выполнены всегда. При $a>0$ условие $a^2\ne 1$ равносильно $a\ne 1$, то есть $(x-4{)}^2\ne 0$, $x\ne 4$. Неравенство $3x^2+5>0$ верно при всех $x$.

Осталось условие $2x^2+7x+5>0$. Дискриминант $D=49-40=9$, корни $x=\frac{-7\pm 3}{4}$, то есть $x=-\frac{5}{2}$ и $x=-1$. Ветви параболы направлены вверх, трёхчлен положителен вне отрезка между корнями:

Учитывая $x\ne 4$, получаем ОДЗ:

$$x\in \left(-\infty ;-\frac{5}{2}\right)\cup (-1;4)\cup (4;+\infty ).$$

На ОДЗ $(x-4{)}^2>0$, поэтому основание $a=(x-4{)}^2+1>1$.

Приведём левую часть к основанию $a$. По свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ при $k=2$:

$$2{\log }_{a^2}\left(3x^2+5\right)=2\cdot \frac{1}{2}{\log }_a\left(3x^2+5\right)={\log }_a\left(3x^2+5\right).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{x^2-8x+17}\left(3x^2+5\right)⩽{\log }_{x^2-8x+17}\left(2x^2+7x+5\right).$$

Основание больше единицы, поэтому логарифм по нему — возрастающая функция, и на ОДЗ неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком:

$$3x^2+5⩽2x^2+7x+5\iff x^2-7x⩽0\iff x(x-7)⩽0.$$

Точки $0$ и $7$ закрашиваем. Ветви параболы направлены вверх, выражение неположительно между корнями:

Получаем $x\in [0;7]$. Пересечём с ОДЗ: отрезок $[0;7]$ лежит правее $-1$, из него нужно выколоть только $x=4$.

Ответ: $[0;4)\cup (4;7]$.