ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим числитель на множители группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $4x^2$, из последних двух — $-1$:

$$8x^3+4x^2-2x-1=4x^2(2x+1)-(2x+1)=(2x+1)\left(4x^2-1\right).$$

По формуле разности квадратов $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$, поэтому

$$8x^3+4x^2-2x-1=(2x+1{)}^2(2x-1).$$

Теперь знаменатель. Так как $81=9^2$, имеем $81^{x^2}={\left(9^{x^2}\right)}^2$. Кроме того, $6\cdot 9^{x^2}=2\cdot 9^{x^2}\cdot 3$ и $9=3^2$, так что знаменатель — квадрат разности:

$$81^{x^2}-6\cdot 9^{x^2}+9={\left(9^{x^2}\right)}^2-2\cdot 9^{x^2}\cdot 3+3^2={\left(9^{x^2}-3\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(2x+1{)}^2(2x-1)}{{\left(9^{x^2}-3\right)}^2}⩾0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен. Дробь определена только при ненулевом знаменателе, а тогда знаменатель положителен и знак дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(2x+1{)}^2(2x-1)⩾0,\\ 9^{x^2}-3\ne 0.\end{array}$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули: $x=-\frac{1}{2}$ (второй кратности) и $x=\frac{1}{2}$. Неравенство нестрогое, обе точки закрашиваем. При $x>\frac{1}{2}$ выражение положительно. При переходе через $x=\frac{1}{2}$ знак меняется, а через $x=-\frac{1}{2}$ — нет, так как множитель $(2x+1{)}^2$ стоит в чётной степени:

Получаем $x\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$. Точка $x=-\frac{1}{2}$ входит в решение отдельно: в ней числитель равен нулю, а нуль удовлетворяет нестрогому неравенству.

Решим второе условие. Запишем $9^{x^2}=3^{2x^2}$ и $3=3^1$. Показательная функция с основанием $3$ каждое значение принимает один раз, поэтому показатели тоже не равны:

$$3^{2x^2}\ne 3^1\iff 2x^2\ne 1\iff x^2\ne \frac{1}{2}\iff x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Учтём эти ограничения. Точка $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ меньше $-\frac{1}{2}$ и в найденное множество не входит. Точка $\frac{\sqrt{2}}{2}$ больше $\frac{1}{2}$, так как $\sqrt{2}>1$, поэтому её нужно выколоть из луча $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$:

Ответ: $\left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$.