ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Все выражения в неравенстве определены при любом $x$, поэтому ограничений нет.

Перенесём слагаемые из правой части в левую:

$${\left(9^x-3^{x+1}\right)}^2+8\cdot 3^{x+1}-8\cdot 9^x-20<0.$$

Вынесем $-8$ из двух средних слагаемых: $8\cdot 3^{x+1}-8\cdot 9^x=-8\left(9^x-3^{x+1}\right)$. Теперь в неравенстве дважды встречается одно и то же выражение:

$${\left(9^x-3^{x+1}\right)}^2-8\left(9^x-3^{x+1}\right)-20<0.$$

Сделаем замену $y=9^x-3^{x+1}$:

$$y^2-8y-20<0.$$

Корни трёхчлена $y^2-8y-20$ найдём по теореме, обратной теореме Виета: их сумма $8$, произведение $-20$, это $-2$ и $10$. Значит, неравенство записывается как $(y+2)(y-10)<0$. Оно строгое, точки выкалываем; ветви параболы направлены вверх, она отрицательна между корнями:

Удобнее оставить результат в виде произведения: $(y+2)(y-10)<0$.

Вернёмся к $x$. Так как $9^x={\left(3^x\right)}^2$ и $3^{x+1}=3\cdot 3^x$, сделаем вторую замену $t=3^x$, где $t>0$ (показательная функция принимает только положительные значения). Тогда $y=t^2-3t$, и неравенство принимает вид

$$\left(t^2-3t+2\right)\left(t^2-3t-10\right)<0.$$

Разложим оба трёхчлена по теореме Виета: у $t^2-3t+2$ корни $1$ и $2$, у $t^2-3t-10$ корни $-2$ и $5$:

$$(t-1)(t-2)(t+2)(t-5)<0.$$

Так как $t>0$, множитель $t+2$ положителен. Разделим на него обе части, знак неравенства не изменится:

$$(t-1)(t-2)(t-5)<0.$$

Решим методом интервалов. Точки $1$, $2$, $5$ выкалываем. При $t>5$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $t\in (-\infty ;1)\cup (2;5)$. Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ 2<t<5.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $3^x>0$ выполнено при всех $x$. Запишем границы как степени тройки: $1=3^0$, $2=3^{{\log }_{3}2}$, $5=3^{{\log }_{3}5}$. Основание $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются (по методу рационализации разность $3^x-3^a$ имеет тот же знак, что и $x-a$):

$$[\begin{array}{l}{3}^x<3^0,\\ 3^{{\log }_{3}2}<3^x<3^{{\log }_{3}5}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ {\log }_{3}2<x<{\log }_{3}5.\end{array}$$

Точки идут в порядке $0<{\log }_{3}2<{\log }_{3}5$, так как $1<2<5$, а логарифм по основанию $3$ возрастает.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left({\log }_{3}2;{\log }_{3}5\right)$.