ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех трёх логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{x}+2>0,\\ x+3>0,\\ \frac{x+4}{x^2}>0.\end{array}$$

Первое неравенство приведём к общему знаменателю: $\frac{3}{x}+2=\frac{2x+3}{x}>0$. Нуль числителя $x=-\frac{3}{2}$, нуль знаменателя $x=0$. Неравенство строгое, обе точки выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Значит, $x\in \left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;+\infty )$.

Второе неравенство даёт $x>-3$.

В третьем знаменатель $x^2$ положителен при $x\ne 0$, поэтому дробь положительна, когда $x+4>0$ и $x\ne 0$:

То есть $x\in (-4;0)\cup (0;+\infty )$.

Пересечём все три условия. Условие $x>-3$ сильнее, чем $x>-4$, поэтому ОДЗ:

$$x\in \left(-3;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;+\infty ).$$

Перенесём логарифм из правой части в левую, а ${\log }_2(x+3)$ — в правую:

$${\log }_2\frac{2x+3}{x}-{\log }_2\frac{x+4}{x^2}⩽{\log }_2(x+3).$$

На ОДЗ оба аргумента в левой части положительны, поэтому можно применить свойство разности логарифмов ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_2\left(\frac{2x+3}{x}:\frac{x+4}{x^2}\right)⩽{\log }_2(x+3).$$

Деление на дробь заменим умножением на перевёрнутую дробь и сократим на $x\ne 0$:

$$\frac{2x+3}{x}\cdot \frac{x^2}{x+4}=\frac{x(2x+3)}{x+4}=\frac{2x^2+3x}{x+4}.$$

Получаем

$${\log }_2\frac{2x^2+3x}{x+4}⩽{\log }_2(x+3).$$

Основание $2>1$, поэтому функция $y={\log }_{2}t$ возрастает: большему аргументу соответствует большее значение логарифма. На ОДЗ оба аргумента положительны, значит, неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком:

$$\frac{2x^2+3x}{x+4}⩽x+3.$$

Знак знаменателя заранее не ясен, поэтому на него не умножаем. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $x+4$:

$$\frac{2x^2+3x-(x+3)(x+4)}{x+4}⩽0.$$

Раскроем скобки: $(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$, поэтому числитель равен $2x^2+3x-x^2-7x-12=x^2-4x-12$:

$$\frac{x^2-4x-12}{x+4}⩽0.$$

Разложим числитель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, корни трёхчлена $x^2-4x-12$ — числа с суммой $4$ и произведением $-12$, то есть $-2$ и $6$. Значит, $x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$:

$$\frac{(x+2)(x-6)}{x+4}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $x=-2$ и $x=6$ закрашиваем, а нуль знаменателя $x=-4$ выкалываем. При $x>6$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $x\in (-\infty ;-4)\cup [-2;6]$.

Пересечём с ОДЗ $\left(-3;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;+\infty )$. Промежуток $(-\infty ;-4)$ лежит левее $-3$ и в ОДЗ не входит. От отрезка $[-2;6]$ остаются части $\left[-2;-\frac{3}{2}\right)$ и $(0;6]$: промежуток $\left[-\frac{3}{2};0\right]$ в ОДЗ не входит.

Ответ: $\left[-2;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;6]$.