ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатель $3^x+9$ положителен при всех $x$. Знаменатели $3^x-9$ и $9^x-81$ не равны нулю: $3^x\ne 9$, то есть $x\ne 2$ (при этом и $9^x\ne 81$).

Преобразуем степени: $9^x={\left(3^x\right)}^2$ и $4\cdot 3^{x+1}=4\cdot 3\cdot 3^x=12\cdot 3^x$. Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; кроме того, $t\ne 9$:

$$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}⩾\frac{12t+144}{t^2-81}.$$

По формуле разности квадратов $t^2-81=(t-9)(t+9)$ — это общий знаменатель всех дробей. Его знак заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем, а переносим всё в левую часть:

$$\frac{(t+9{)}^2+(t-9{)}^2-(12t+144)}{(t-9)(t+9)}⩾0.$$

Раскроем квадраты: $(t+9{)}^2+(t-9{)}^2=t^2+18t+81+t^2-18t+81=2t^2+162$. Числитель равен

$$2t^2+162-12t-144=2t^2-12t+18=2\left(t^2-6t+9\right)=2(t-3{)}^2$$

по формуле квадрата разности. Неравенство принимает вид

$$\frac{2(t-3{)}^2}{(t-9)(t+9)}⩾0.$$

Так как $t>0$, множитель $t+9$ положителен. Умножим обе части на положительное число $\frac{t+9}{2}$, знак неравенства сохранится:

$$\frac{(t-3{)}^2}{t-9}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=9$ выкалываем. При $t>9$ дробь положительна, при переходе через $t=9$ знак меняется, а при переходе через $t=3$ — нет, так как множитель $(t-3{)}^2$ стоит в чётной степени:

Дробь положительна при $t>9$ и равна нулю при $t=3$. Оба множества лежат в области $t>0$:

$$[\begin{array}{l}t=3,\\ t>9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $3=3^1$, $9=3^2$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x=3^1,\\ 3^x>3^2\end{array}⟺[\begin{array}{l}x=1,\\ x>2.\end{array}$$

Ответ: $\{1\}\cup (2;+\infty )$.