ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}3x-13>0,\\ x-4>0,\\ {\log }_5(x-4)\ne 0.\end{array}$$

Первое условие даёт $x>\frac{13}{3}$, второе $x>4$; так как $\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}>4$, вместе они дают $x>\frac{13}{3}$. Третье условие означает $x-4\ne 1$, то есть $x\ne 5$. Итак, ОДЗ: $x>\frac{13}{3}$, $x\ne 5$.

На ОДЗ число $x-4$ положительно и не равно единице, поэтому его можно взять основанием логарифма. По формуле перехода к новому основанию $\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}={\log }_{a}b$:

$$\frac{{\log }_5(3x-13)}{{\log }_5(x-4)}={\log }_{x-4}(3x-13).$$

Запишем $1={\log }_{x-4}(x-4)$ и перенесём всё в левую часть:

$${\log }_{x-4}(3x-13)-{\log }_{x-4}(x-4)⩾0.$$

Основание переменное, поэтому применим метод рационализации. Если основание $c>1$, логарифм возрастает и разность ${\log }_{c}a-{\log }_{c}b$ имеет знак $a-b$; если $0<c<1$, логарифм убывает и знак разности противоположен знаку $a-b$. В обоих случаях на ОДЗ знак ${\log }_{c}a-{\log }_{c}b$ совпадает со знаком произведения $(c-1)(a-b)$. Поэтому на ОДЗ неравенство равносильно

$$((x-4)-1)((3x-13)-(x-4))⩾0,$$

$$(x-5)(2x-9)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Корни $x=\frac{9}{2}$ и $x=5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. При $x>5$ оба множителя положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $x⩽\frac{9}{2}$ или $x⩾5$. Пересечём с ОДЗ: левый промежуток обрезается слева точкой $\frac{13}{3}$ (заметим, что $\frac{13}{3}<\frac{9}{2}$), а точка $x=5$ исключается, так как в ней знаменатель исходной дроби равен нулю:

Ответ: $\left(\frac{13}{3};\frac{9}{2}\right]\cup (5;+\infty )$.