ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $32x>0$, $x>0$, $x^5>0$. Все три условия равносильны $x>0$. Условие «знаменатель не равен нулю» учтём после замены.

Преобразуем логарифмы. По свойству логарифма произведения

$${\log }_2(32x)={\log }_{2}32+{\log }_{2}x=5+{\log }_{2}x,$$

поэтому числитель равен $5+{\log }_{2}x-1=4+{\log }_{2}x$. По свойству логарифма степени ${\log }_2{x}^5=5{\log }_{2}x$ (при $x>0$).

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$, где $t$ — любое действительное число:

$$\frac{t+4}{t^2-5t}⩾-1.$$

Знаменатель $t^2-5t=t(t-5)$ не равен нулю, поэтому $t\ne 0$ и $t\ne 5$.

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t+4+t^2-5t}{t(t-5)}⩾0,\frac{t^2-4t+4}{t(t-5)}⩾0.$$

По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ получаем $t^2-4t+4=t^2-2\cdot 2\cdot t+2^2=(t-2{)}^2$:

$$\frac{(t-2{)}^2}{t(t-5)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=0$ и $t=5$ выкалываем. При $t>5$ дробь положительна. При переходе через простые корни $5$ и $0$ знак меняется, а при переходе через $t=2$ — нет, так как множитель $(t-2{)}^2$ стоит в чётной степени:

Дробь положительна при $t<0$ и $t>5$ и равна нулю при $t=2$:

$$[\begin{array}{l}t<0,\\ t=2,\\ t>5.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа логарифмами по основанию $2$: $0={\log }_{2}1$, $2={\log }_{2}4$, $5={\log }_{2}32$. Функция $y={\log }_{2}x$ возрастает на $(0;+\infty )$, так как $2>1$, поэтому знаки неравенств для аргументов сохраняются. С учётом ОДЗ $x>0$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}x<{\log }_{2}1,\\ {\log }_{2}x={\log }_{2}4,\\ {\log }_{2}x>{\log }_{2}32\end{array}⟺[\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=4,\\ x>32.\end{array}$$

Ответ: $(0;1)\cup \{4\}\cup (32;+\infty )$.