ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатели не равны нулю: $2^{4-x^2}-1\ne 0$, то есть $2^{4-x^2}\ne 2^0$, откуда $4-x^2\ne 0$ и $x\ne \pm 2$.

Сделаем замену $t=2^{4-x^2}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; кроме того, $t\ne 1$:

$$\frac{105}{(t-1{)}^2}-\frac{22}{t-1}+1⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-1{)}^2$:

$$\frac{105-22(t-1)+(t-1{)}^2}{(t-1{)}^2}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$105-22t+22+t^2-2t+1=t^2-24t+128.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-24t+128$ — числа с суммой $24$ и произведением $128$, это $8$ и $16$. Значит, $t^2-24t+128=(t-8)(t-16)$:

$$\frac{(t-8)(t-16)}{(t-1{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=8$ и $t=16$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=1$ выкалываем. При $t>16$ дробь положительна. При переходе через простые корни $16$ и $8$ знак меняется, а при переходе через $t=1$ — нет, так как множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени:

Получаем $t<1$, $1<t⩽8$ или $t⩾16$. Учтём условие $t>0$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}t⩽8,\\ t⩾16,\end{array}\\ t\ne 1.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $8=2^3$, $16=2^4$, $1=2^0$. Функция $y=2^u$ возрастает, так как $2>1$, поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}4-x^2⩽3,\\ 4-x^2⩾4,\end{array}\\ 4-x^2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{x}^2⩾1,\\ x^2⩽0,\end{array}\\ x^2\ne 4.\end{array}$$

Неравенство $x^2⩽0$ выполняется только при $x=0$, так как квадрат неотрицателен. Неравенство $x^2⩾1$ равносильно $|x|⩾1$, то есть $x⩽-1$ или $x⩾1$. Из этого множества исключаем $x=\pm 2$. Точка $x=0$ условию $x^2\ne 4$ удовлетворяет.

Ответ: $(-\infty ;-2)\cup (-2;-1]\cup \{0\}\cup [1;2)\cup (2;+\infty )$.