ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $x>0$ и $27x^6>0$; второе условие выполнено при $x\ne 0$. Итак, $x>0$. Условия на знаменатели учтём после преобразований.

Преобразуем ${\log }_3\left(27x^6\right)$. По свойству логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

$${\log }_3\left(27x^6\right)={\log }_{3}27+{\log }_3{x}^6=3+{\log }_3{x}^6.$$

По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^6=6{\log }_a|b|$, а на ОДЗ $x>0$, поэтому модуль можно опустить: ${\log }_3{x}^6=6{\log }_{3}x$. Тогда второй знаменатель равен

$${\log }_3^{2}x-3-6{\log }_{3}x+12={\log }_3^{2}x-6{\log }_{3}x+9.$$

По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$${\log }_3^{2}x-6{\log }_{3}x+9={\left({\log }_{3}x\right)}^2-2\cdot 3\cdot {\log }_{3}x+3^2={\left({\log }_{3}x-3\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{{\left({\log }_{3}x-3\right)}^2}⩾0.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x-3$. Знаменатели не равны нулю, поэтому $t\ne 0$:

$$1+\frac{6}{t}+\frac{5}{t^2}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $t^2$:

$$\frac{t^2+6t+5}{t^2}⩾0.$$

Разложим числитель. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+6t+5$ — числа с суммой $-6$ и произведением $5$, это $-1$ и $-5$. Значит, $t^2+6t+5=(t+1)(t+5)$:

$$\frac{(t+1)(t+5)}{t^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=-5$ и $t=-1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. При $t>0$ дробь положительна. При переходе через $t=0$ знак не меняется, так как $t^2$ стоит в чётной степени, а при переходе через простые корни $-1$ и $-5$ знак меняется:

$$[\begin{array}{l}t⩽-5,\\ -1⩽t<0,\\ t>0.\end{array}$$

Сделаем обратную замену $t={\log }_{3}x-3$ и прибавим $3$ ко всем частям:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x-3⩽-5,\\ -1⩽{\log }_{3}x-3<0,\\ {\log }_{3}x-3>0\end{array}⟺[\begin{array}{l}{\log }_{3}x⩽-2,\\ 2⩽{\log }_{3}x<3,\\ {\log }_{3}x>3.\end{array}$$

Запишем числа логарифмами по основанию $3$: $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $2={\log }_{3}9$, $3={\log }_{3}27$. Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает на $(0;+\infty )$, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств для аргументов сохраняются. С учётом ОДЗ $x>0$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x⩽{\log }_3\frac{1}{9},\\ {\log }_{3}9⩽{\log }_{3}x<{\log }_{3}27,\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}27\end{array}⟺[\begin{array}{l}0<x⩽\frac{1}{9},\\ 9⩽x<27,\\ x>27.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{9}\right]\cup [9;27)\cup (27;+\infty )$.