ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен: $x^4>0$, то есть $x\ne 0$. Знаменатель не равен нулю: $100-x^2\ne 0$, то есть $x\ne \pm 10$.

Преобразуем логарифм. Так как $0,5=2^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ имеем ${\log }_{0,5}b=-{\log }_{2}b$. По свойству логарифма чётной степени ${\log }_a{b}^4=4{\log }_a|b|$ (модуль нужен, потому что $x$ может быть отрицательным). Поэтому

$${\log }_{0,5}\left(x^4\right)=-4{\log }_2|x|,{\log }_{0,5}^2\left(x^4\right)={\left(-4{\log }_2|x|\right)}^2=16{\log }_2^2|x|.$$

Кроме того, $x^2=|x{|}^2$. Сделаем замену $t=|x|$. Из ОДЗ $t>0$ и $t\ne 10$:

$$\frac{16{\log }_2^{2}t-t^2}{100-t^2}⩽1.$$

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{16{\log }_2^{2}t-t^2-\left(100-t^2\right)}{100-t^2}⩽0,\frac{16{\log }_2^{2}t-100}{100-t^2}⩽0.$$

Разложим числитель и знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$16{\log }_2^{2}t-100=4\left(4{\log }_2^{2}t-25\right)=4\left(2{\log }_{2}t-5\right)\left(2{\log }_{2}t+5\right),100-t^2=(10-t)(10+t).$$

Так как $t>0$, множитель $10+t$ положителен. Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{10+t}{4}$, знак сохранится. Затем умножим на $-1$, чтобы в знаменателе стояло $t-10$, — знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{\left(2{\log }_{2}t-5\right)\left(2{\log }_{2}t+5\right)}{t-10}⩾0.$$

Вынесем из каждого множителя числителя двойку: $2{\log }_{2}t-5=2\left({\log }_{2}t-\frac{5}{2}\right)$, $2{\log }_{2}t+5=2\left({\log }_{2}t+\frac{5}{2}\right)$, и разделим обе части на $4>0$. Числа $\pm \frac{5}{2}$ запишем логарифмами по основанию $2$: $\frac{5}{2}={\log }_2{2}^{\frac{5}{2}}$, $-\frac{5}{2}={\log }_2{2}^{-\frac{5}{2}}$:

$$\frac{\left({\log }_{2}t-{\log }_2{2}^{\frac{5}{2}}\right)\left({\log }_{2}t-{\log }_2{2}^{-\frac{5}{2}}\right)}{t-10}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает на $(0;+\infty )$, так как основание $2>1$. Поэтому при $t>0$ разность ${\log }_{2}t-{\log }_{2}c$ имеет тот же знак, что и $t-c$, и обращается в ноль в той же точке. Вычислим границы:

$$2^{\frac{5}{2}}=2^2\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2},2^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}.$$

Получаем равносильное при $t>0$ неравенство

$$\frac{\left(t-4\sqrt{2}\right)\left(t-\frac{\sqrt{2}}{8}\right)}{t-10}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Сравним точки: $\frac{\sqrt{2}}{8}<1<4\sqrt{2}=\sqrt{32}<\sqrt{100}=10$. Нули числителя $\frac{\sqrt{2}}{8}$ и $4\sqrt{2}$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=10$ выкалываем. При $t>10$ дробь положительна, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Учтём условие $t>0$. Точка $\frac{\sqrt{2}}{8}$ положительна, поэтому оба найденных промежутка лежат в области $t>0$:

$$[\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2}}{8}⩽t⩽4\sqrt{2},\\ t>10.\end{array}$$

Сделаем обратную замену $t=|x|$. Неравенство $|x|⩽4\sqrt{2}$ означает $-4\sqrt{2}⩽x⩽4\sqrt{2}$, а $|x|⩾\frac{\sqrt{2}}{8}$ означает $x⩽-\frac{\sqrt{2}}{8}$ или $x⩾\frac{\sqrt{2}}{8}$. Неравенство $|x|>10$ означает $x<-10$ или $x>10$:

$$[\begin{array}{l}-4\sqrt{2}⩽x⩽-\frac{\sqrt{2}}{8},\\ \frac{\sqrt{2}}{8}⩽x⩽4\sqrt{2},\\ x<-10,\\ x>10.\end{array}$$

Все эти значения удовлетворяют ОДЗ: точки $0$ и $\pm 10$ в них не входят.

Ответ: $(-\infty ;-10)\cup \left[-4\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{8}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{8};4\sqrt{2}\right]\cup (10;+\infty )$.