ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Знаменатель не равен нулю: $x\ne 1$.

Преобразуем числитель по свойствам степени $a^{mn}={\left(a^m\right)}^n$ и $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$2^{3x}={\left(2^x\right)}^3,2\cdot 4^{x+1}=2\cdot 4\cdot {\left(2^x\right)}^2=8{\left(2^x\right)}^2,5\cdot 2^{x+2}=5\cdot 4\cdot 2^x=20\cdot 2^x.$$

Обозначим $t=2^x$. Числитель равен

$$t^3-8t^2+20t-16.$$

Подберём корень среди делителей свободного члена: при $t=2$ получаем $8-32+40-16=0$. Значит, многочлен делится на $t-2$. Выделим этот множитель группировкой:

$$t^3-8t^2+20t-16=t^3-2t^2-6t^2+12t+8t-16=t^2(t-2)-6t(t-2)+8(t-2)=(t-2)\left(t^2-6t+8\right).$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-6t+8$ равны $2$ и $4$ (сумма $6$, произведение $8$), поэтому $t^2-6t+8=(t-2)(t-4)$. Итак, числитель равен $(t-2{)}^2(t-4)$, и неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(2^x-2\right)}^2\left(2^x-4\right)}{x-1}⩾0.$$

Множитель $2^x-2$ обращается в ноль только при $x=1$, а эта точка исключена ОДЗ. Значит, на ОДЗ ${\left(2^x-2\right)}^2>0$, и на него можно разделить обе части, не меняя знака неравенства:

$$\frac{2^x-4}{x-1}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем $4=2^2$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому разность $2^x-2^2$ положительна при $x>2$, отрицательна при $x<2$ и равна нулю при $x=2$, то есть имеет тот же знак, что и $x-2$. Заменим её на $x-2$:

$$\frac{x-2}{x-1}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $x=1$ выкалываем. При $x>2$ дробь положительна, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $x<1$ или $x⩾2$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-\infty ;1)\cup [2;+\infty )$.