ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатель $3^x+27$ положителен при всех $x$. Второй знаменатель не равен нулю: $3^x\ne 27$, то есть $x\ne 3$.

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; кроме того, $t\ne 27$:

$$\frac{2}{t+27}⩾\frac{1}{t-27}.$$

Знак знаменателя $t-27$ заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём дробь из правой части в левую и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(t-27)-(t+27)}{(t+27)(t-27)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $2t-54-t-27=t-81$. Получаем

$$\frac{t-81}{(t+27)(t-27)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=81$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=-27$ и $t=27$ выкалываем. При $t>81$ все множители положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $-27<t<27$ или $t⩾81$. Учтём условие $t>0$: из первого промежутка остаётся $0<t<27$.

$$[\begin{array}{l}0<t<27,\\ t⩾81.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $3^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $27=3^3$, $81=3^4$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x<3^3,\\ 3^x⩾3^4\end{array}⟺[\begin{array}{l}x<3,\\ x⩾4.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;3)\cup [4;+\infty )$.