ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатель не равен нулю: $3^x\ne 36$, то есть $x\ne {\log }_{3}36$.

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; кроме того, $t\ne 36$:

$$t+\frac{243}{t-36}⩾0.$$

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем, а приводим к общему знаменателю:

$$\frac{t(t-36)+243}{t-36}⩾0,\frac{t^2-36t+243}{t-36}⩾0.$$

Разложим числитель на множители. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-36t+243$ — числа с суммой $36$ и произведением $243$, это $9$ и $27$: $9+27=36$, $9\cdot 27=243$. Значит, $t^2-36t+243=(t-9)(t-27)$:

$$\frac{(t-9)(t-27)}{t-36}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=9$ и $t=27$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=36$ выкалываем. При $t>36$ все множители положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $9⩽t⩽27$ или $t>36$. Оба промежутка лежат в области $t>0$:

$$[\begin{array}{l}9⩽t⩽27,\\ t>36.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $9=3^2$, $27=3^3$ и $36=3^{{\log }_{3}36}$ по основному логарифмическому тождеству:

$$[\begin{array}{l}{3}^2⩽3^x⩽3^3,\\ 3^x>3^{{\log }_{3}36}.\end{array}$$

Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}2⩽x⩽3,\\ x>{\log }_{3}36.\end{array}$$

Сравним ${\log }_{3}36$ с числом $3$: так как $36>27=3^3$ и логарифм по основанию $3$ возрастает, то ${\log }_{3}36>{\log }_{3}27=3$. Значит, промежутки не пересекаются и идут в таком порядке.

Ответ: $[2;3]\cup ({\log }_{3}36;+\infty )$.