ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Числитель определён при всех $x$, знаменатель не должен обращаться в ноль: $0,2\cdot 5^x-1\ne 0$.

Приведём степени в числителе к основанию $2$. Так как $4=2^2$ и $0,5=2^{-1}$, по свойству ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

$$4^{x^2+x-4}=2^{2x^2+2x-8},(0,5{)}^{2x^2-2x-1}=2^{-\left(2x^2-2x-1\right)}=2^{-2x^2+2x+1}.$$

Знаменатель приведём к основанию $5$. Так как $0,2=5^{-1}$, а $1=5^0$:

$$0,2\cdot 5^x-1=5^{-1}\cdot 5^x-1=5^{x-1}-5^0.$$

Отсюда ОДЗ: $5^{x-1}\ne 5^0$, то есть $x\ne 1$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2^{2x^2+2x-8}-2^{-2x^2+2x+1}}{5^{x-1}-5^0}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Если $a>1$, то функция $y=a^u$ возрастает, поэтому $a^f>a^g$ ровно тогда, когда $f>g$, а $a^f=a^g$ — когда $f=g$. Значит, разность $a^f-a^g$ имеет тот же знак, что и разность показателей $f-g$, и обращается в ноль в тех же точках. Поэтому на ОДЗ можно заменить каждую разность степеней разностью показателей — знак дроби в каждой точке не изменится.

Для числителя (основание $2>1$):

$$\left(2x^2+2x-8\right)-\left(-2x^2+2x+1\right)=4x^2-9.$$

Для знаменателя (основание $5>1$): $(x-1)-0=x-1$. Получаем равносильное неравенство

$$\frac{4x^2-9}{x-1}⩽0.$$

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$:

$$\frac{(2x-3)(2x+3)}{x-1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-\frac{3}{2}$ и $x=\frac{3}{2}$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $x=1$ выкалываем, он совпадает с ограничением ОДЗ. При $x>\frac{3}{2}$ все множители положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]\cup \left(1;\frac{3}{2}\right]$.