ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатель не равен нулю: $5^x-10\ne 0$, то есть $x\ne {\log }_{5}10$.

Сделаем замену $t=5^x-10$. Так как $5^x>0$, то $t>-10$. Кроме того, $t\ne 0$:

$$t⩾\frac{225}{t}.$$

Знак $t$ заранее неизвестен, поэтому умножать на $t$ нельзя. Перенесём дробь в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$t-\frac{225}{t}⩾0,\frac{t^2-225}{t}⩾0.$$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\frac{(t-15)(t+15)}{t}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=-15$ и $t=15$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. При $t>15$ все множители положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $-15⩽t<0$ или $t⩾15$. Учтём условие $t>-10$: из первого промежутка остаётся только $-10<t<0$.

$$[\begin{array}{l}-10<t<0,\\ t⩾15.\end{array}$$

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}-10<5^x-10<0,\\ 5^x-10⩾15\end{array}⟺[\begin{array}{l}0<5^x<10,\\ 5^x⩾25.\end{array}$$

Неравенство $5^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $10=5^{{\log }_{5}10}$ по основному логарифмическому тождеству и $25=5^2$. Функция $y=5^x$ возрастает, так как $5>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{5}^x<5^{{\log }_{5}10},\\ 5^x⩾5^2\end{array}⟺[\begin{array}{l}x<{\log }_{5}10,\\ x⩾2.\end{array}$$

Сравним границы: $10<25$, а логарифм по основанию $5$ возрастает, поэтому ${\log }_{5}10<{\log }_{5}25=2$.

Ответ: $(-\infty ;{\log }_{5}10)\cup [2;+\infty )$.