ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен, а знаменатель не должен быть равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}9\cdot 3^x>0,\\ {\log }_2\left(9\cdot 3^x\right)\ne 0.\end{array}$$

Первое условие выполнено при всех $x$, так как $3^x>0$. Второе означает $9\cdot 3^x\ne 1$. По свойству степени $9\cdot 3^x=3^2\cdot 3^x=3^{x+2}$, поэтому $3^{x+2}\ne 3^0$, то есть $x\ne -2$.

Разложим числитель на множители: $x^2+2x=x(x+2)$.

Преобразуем знаменатель. По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^p=p{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_2\left(9\cdot 3^x\right)={\log }_2{3}^{x+2}=(x+2){\log }_{2}3.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x(x+2)}{(x+2){\log }_{2}3}⩽0.$$

Число ${\log }_{2}3$ положительно, так как основание $2>1$ и аргумент $3>1$. Умножим обе части на ${\log }_{2}3>0$, знак неравенства сохранится:

$$\frac{x(x+2)}{x+2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Точка $x=0$ — нуль числителя, закрашиваем её, так как неравенство нестрогое. Точка $x=-2$ обращает в ноль знаменатель, её выкалываем. При $x>0$ дробь положительна, при переходе через $x=0$ знак меняется. При переходе через $x=-2$ знак не меняется: множитель $x+2$ стоит и в числителе, и в знаменателе, и их знаки меняются одновременно:

Тот же результат получается сокращением: при $x\ne -2$ дробь равна $x$, и неравенство сводится к $x⩽0$, из которого нужно исключить $x=-2$.

Ответ: $(-\infty ;-2)\cup (-2;0]$.