ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $9x>0$ и $x>0$, а $x^4>0$ при $x\ne 0$. Вместе это даёт $x>0$. Условие «знаменатель не равен нулю» учтём после замены.

Преобразуем логарифмы. По свойству логарифма произведения

$${\log }_3(9x)={\log }_{3}9+{\log }_{3}x=2+{\log }_{3}x.$$

По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^4=4{\log }_a|b|$. На ОДЗ $x>0$, поэтому модуль можно опустить: ${\log }_3{x}^4=4{\log }_{3}x$.

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$, где $t$ — любое действительное число:

$$\frac{2(2+t)-13}{t^2-4t}⩽1.$$

Знаменатель $t^2-4t=t(t-4)$ не равен нулю, поэтому $t\ne 0$ и $t\ne 4$. Числитель равен $4+2t-13=2t-9$.

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t-9-\left(t^2-4t\right)}{t(t-4)}⩽0,\frac{-t^2+6t-9}{t(t-4)}⩽0.$$

Умножим обе части на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный. По формуле квадрата разности $t^2-6t+9=(t-3{)}^2$:

$$\frac{(t-3{)}^2}{t(t-4)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=0$ и $t=4$ выкалываем. При $t>4$ дробь положительна. При переходе через простые корни $4$ и $0$ знак меняется, а при переходе через $t=3$ — нет, так как множитель $(t-3{)}^2$ стоит в чётной степени:

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t<0,\\ t=3,\\ t>4.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем правые части логарифмами по основанию $3$: $0={\log }_{3}1$, $3={\log }_{3}27$, $4={\log }_{3}81$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}1,\\ {\log }_{3}x={\log }_{3}27,\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}81.\end{array}$$

Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает на $(0;+\infty )$, так как основание $3>1$, поэтому знаки неравенств для аргументов сохраняются. С учётом ОДЗ $x>0$:

$$[\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=27,\\ x>81.\end{array}$$

Ответ: $(0;1)\cup \{27\}\cup (81;+\infty )$.