ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим основания на простые множители: $50=2\cdot 5^2$, $8=2^3$, $20=2^2\cdot 5$, $125=5^3$. По свойству $(ab{)}^x=a^x\cdot b^x$ неравенство записывается так:

$$2\cdot 2^x\cdot 5^{2x}+2\cdot 2^{3x}>2^{2x}\cdot 5^x+3\cdot 5^{3x}.$$

В каждом слагаемом суммарный «показатель» по $2^x$ и $5^x$ равен трём: $2^x\cdot 5^{2x}$, $2^{3x}$, $2^{2x}\cdot 5^x$, $5^{3x}$. Такое неравенство называется однородным, и его решают делением на одно из слагаемых. Разделим обе части на $2^{3x}$. Это число положительно при всех $x$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$2\cdot \frac{5^{2x}}{2^{2x}}+2>\frac{5^x}{2^x}+3\cdot \frac{5^{3x}}{2^{3x}}.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{2}\right)}^x$, где $t>0$. Тогда $\frac{5^{2x}}{2^{2x}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{2x}=t^2$ и $\frac{5^{3x}}{2^{3x}}=t^3$:

$$2t^2+2>t+3t^3.$$

Перенесём все слагаемые в правую часть:

$$3t^3-2t^2+t-2<0.$$

Заметим, что $t=1$ — корень многочлена: $3-2+1-2=0$. Выделим множитель $t-1$ группировкой. Представим $-2t^2=-3t^2+t^2$:

$$3t^3-3t^2+t^2+t-2=3t^2(t-1)+\left(t^2+t-2\right).$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+t-2$ равны $1$ и $-2$ (сумма $-1$, произведение $-2$), поэтому $t^2+t-2=(t-1)(t+2)$. Вынесем общий множитель:

$$3t^2(t-1)+(t-1)(t+2)=(t-1)\left(3t^2+t+2\right).$$

Неравенство принимает вид

$$(t-1)\left(3t^2+t+2\right)<0.$$

Исследуем трёхчлен $3t^2+t+2$. Его дискриминант $D=1^2-4\cdot 3\cdot 2=-23<0$, а старший коэффициент $3>0$, значит, трёхчлен положителен при всех $t$. Разделим на него обе части, знак неравенства сохранится:

$$t-1<0,t<1.$$

Учтём условие $t>0$:

$$0<t<1.$$

Сделаем обратную замену. Неравенство ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x>0$ выполняется при всех $x$. Запишем $1={\left(\frac{5}{2}\right)}^0$:

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^x<{\left(\frac{5}{2}\right)}^0.$$

Основание $\frac{5}{2}>1$, поэтому функция $y={\left(\frac{5}{2}\right)}^x$ возрастает и знак неравенства сохраняется: $x<0$.

Ответ: $(-\infty ;0)$.