ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Заметим, что по свойству степени ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m$

$$9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$\frac{117-15t}{t^2-36t+243}⩾\frac{1}{2}.$$

Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение $t^2-36t+243=0$. Дискриминант

$$D=(-36{)}^2-4\cdot 1\cdot 243=1296-972=324=18^2,$$

корни $t=\frac{36\pm 18}{2}$, то есть $t_1=9$ и $t_2=27$. Значит, $t^2-36t+243=(t-9)(t-27)$. Знаменатель не равен нулю, поэтому $t\ne 9$ и $t\ne 27$.

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём $\frac{1}{2}$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $2(t-9)(t-27)$:

$$\frac{2(117-15t)-\left(t^2-36t+243\right)}{2(t-9)(t-27)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$234-30t-t^2+36t-243=-t^2+6t-9=-\left(t^2-6t+9\right).$$

По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ получаем $t^2-6t+9=t^2-2\cdot 3\cdot t+3^2=(t-3{)}^2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{-(t-3{)}^2}{2(t-9)(t-27)}⩾0.$$

Умножим обе части на $-2<0$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{(t-3{)}^2}{(t-9)(t-27)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=9$ и $t=27$ выкалываем. При $t>27$ дробь положительна. При переходе через простые корни $27$ и $9$ знак меняется, а при переходе через $t=3$ — нет, потому что множитель $(t-3{)}^2$ стоит в чётной степени:

Дробь отрицательна при $9<t<27$ и равна нулю при $t=3$. Оба множества лежат в области $t>0$:

$$[\begin{array}{l}t=3,\\ 9<t<27.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x=3^1,\\ 3^2<3^x<3^3\end{array}⟺[\begin{array}{l}x=1,\\ 2<x<3.\end{array}$$

Ответ: $\{1\}\cup (2;3)$.