ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатель $2^x+10$ положителен при всех $x$, так как $2^x>0$. Второй знаменатель не должен обращаться в ноль: $2^{x+1}-1\ne 0$, то есть $2^{x+1}\ne 2^0$, откуда $x\ne -1$.

По свойству степени $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ имеем $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2}{2^x+10}⩽\frac{3}{2\cdot 2^x-1}.$$

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Ограничение $x\ne -1$ превращается в $t\ne \frac{1}{2}$:

$$\frac{2}{t+10}⩽\frac{3}{2t-1}.$$

Знак знаменателя $2t-1$ заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём дробь из правой части в левую и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(2t-1)-3(t+10)}{(t+10)(2t-1)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе: $4t-2-3t-30=t-32$. Получаем

$$\frac{t-32}{(t+10)(2t-1)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=32$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=-10$ и $t=\frac{1}{2}$ выкалываем. При $t>32$ все множители положительны, все корни простые, поэтому дальше знаки чередуются:

Получаем $t<-10$ или $\frac{1}{2}<t⩽32$. Учтём условие $t>0$: промежуток $t<-10$ отпадает, остаётся

$$\frac{1}{2}<t⩽32.$$

Сделаем обратную замену. Запишем границы степенями двойки: $\frac{1}{2}=2^{-1}$, $32=2^5$:

$$2^{-1}<2^x⩽2^5.$$

Функция $y=2^x$ возрастает, так как основание $2>1$, поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются:

$$-1<x⩽5.$$

Ответ: $(-1;5]$.