ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю. $2^x-1\ne 0\iff x\ne 0$, $2^x-16\ne 0\iff x\ne 4$.

Выразим все степени через $2^x$ по свойствам степени $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$:

$$4^{x+\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^x=2\cdot {\left(2^x\right)}^2,2^{x+5}=32\cdot 2^x,2^{x+1}=2\cdot 2^x.$$

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$, $t\ne 1$, $t\ne 16$:

$$\frac{1}{t-1}+\frac{2t^2-32t+4}{t-16}⩾2t.$$

Выделим целую часть во второй дроби. Заметим, что $2t^2-32t=2t(t-16)$, поэтому

$$\frac{2t^2-32t+4}{t-16}=\frac{2t(t-16)+4}{t-16}=2t+\frac{4}{t-16}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{1}{t-1}+2t+\frac{4}{t-16}⩾2t\iff \frac{1}{t-1}+\frac{4}{t-16}⩾0.$$

Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому приводим к общему знаменателю, а не умножаем:

$$\frac{(t-16)+4(t-1)}{(t-1)(t-16)}⩾0\iff \frac{5t-20}{(t-1)(t-16)}⩾0\iff \frac{t-4}{(t-1)(t-16)}⩾0.$$

На последнем шаге вынесли $5$ из числителя и разделили на это положительное число.

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=4$ закрашиваем, нули знаменателя $t=1$ и $t=16$ выкалываем. При $t>16$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

$$[\begin{array}{l}1<t⩽4,\\ t>16.\end{array}$$

Все эти значения положительны, так что условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем $1=2^0$, $4=2^2$, $16=2^4$. Основание $2>1$, функция $y=2^x$ возрастает, знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{2}^0<2^x⩽2^2,\\ 2^x>2^4\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x⩽2,\\ x>4.\end{array}$$

Точки $0$ и $4$, исключённые ОДЗ, в решение не входят.

Ответ: $(0;2]\cup (4;+\infty )$.