ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Под десятичным логарифмом $x>0$; аргумент логарифма по основанию $\frac{1}{2}$ положителен:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ 5^{1+\lg x}-\frac{1}{2^{1+\lg x}}>0.\end{array}$$

Заметим полезное равенство. По свойству степени $a^n\cdot b^n=(ab{)}^n$ и основному логарифмическому тождеству $10^{\lg x}=x$ при $x>0$:

$$5^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x}=10^{1+\lg x}=10\cdot 10^{\lg x}=10x.$$

Решим второе условие ОДЗ. Умножим обе части на положительное число $2^{1+\lg x}$:

$$5^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x}-1>0\iff 10x-1>0\iff x>0,1.$$

ОДЗ: $x>0,1$.

Приведём выражение под логарифмом к общему знаменателю:

$$5^{1+\lg x}-\frac{1}{2^{1+\lg x}}=\frac{5^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x}-1}{2^{1+\lg x}}=\frac{10x-1}{2^{1+\lg x}}.$$

На ОДЗ числитель и знаменатель положительны, поэтому применим формулу логарифма частного:

$${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{10x-1}{2^{1+\lg x}}={\log }_{\frac{1}{2}}(10x-1)-{\log }_{\frac{1}{2}}{2}^{1+\lg x}.$$

Так как $\frac{1}{2}=2^{-1}$, то ${\log }_{\frac{1}{2}}{2}^{1+\lg x}=-(1+\lg x)$. Неравенство принимает вид

$${\log }_{\frac{1}{2}}(10x-1)+1+\lg x⩾-1+\lg x\iff {\log }_{\frac{1}{2}}(10x-1)⩾-2.$$

Запишем $-2$ как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $-2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{\frac{1}{2}}4$. Основание $\frac{1}{2}<1$, функция $y={\log }_{\frac{1}{2}}t$ убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный (аргумент $10x-1$ на ОДЗ положителен):

$${\log }_{\frac{1}{2}}(10x-1)⩾{\log }_{\frac{1}{2}}4\iff 10x-1⩽4\iff x⩽0,5.$$

Пересечём с ОДЗ $x>0,1$:

Ответ: $(0,1;0,5]$.