ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём их решения.

Первое неравенство.

$${\log }_{11-x}(x+7)\cdot {\log }_{x+5}(9-x)⩽0.$$

Найдём ОДЗ: основания положительны и не равны единице, аргументы положительны:

$$\{\begin{array}{l}11-x>0,\\ 11-x\ne 1,\\ x+7>0,\\ x+5>0,\\ x+5\ne 1,\\ 9-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<11,\\ x\ne 10,\\ x>-7,\\ x>-5,\\ x\ne -4,\\ x<9.\end{array}$$

Самые сильные ограничения: $x>-5$ и $x<9$; точка $10$ в этот промежуток не попадает. ОДЗ: $x\in (-5;-4)\cup (-4;9)$.

Применим метод рационализации. Если основание $c>1$, то ${\log }_{c}b>0$ при $b>1$; если $0<c<1$, то ${\log }_{c}b>0$ при $b<1$. Значит, на ОДЗ знак ${\log }_{c}b$ совпадает со знаком $(c-1)(b-1)$. Заменим каждый логарифм на такое произведение:

$$(11-x-1)(x+7-1)\cdot (x+5-1)(9-x-1)⩽0\iff (10-x)(x+6)(x+4)(8-x)⩽0.$$

Вынесем минус из скобок $(10-x)$ и $(8-x)$; два минуса дают плюс:

$$(x-10)(x+6)(x+4)(x-8)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Все точки закрашиваем. При $x>10$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $x\in [-6;-4]\cup [8;10]$. Пересечём с ОДЗ: из $[-6;-4]$ остаётся $(-5;-4)$, из $[8;10]$ остаётся $[8;9)$:

Решение первого неравенства: $x\in (-5;-4)\cup [8;9)$.

Второе неравенство.

$$64^{x^2-3x+20}-0,125^{2x^2-6x-200}⩽0.$$

Определено при всех $x$. Приведём степени к основанию $8$: $64=8^2$, $0,125=\frac{1}{8}=8^{-1}$. По свойству ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$:

$$64^{x^2-3x+20}=8^{2x^2-6x+40},0,125^{2x^2-6x-200}=8^{-2x^2+6x+200}.$$

Неравенство принимает вид

$$8^{2x^2-6x+40}⩽8^{-2x^2+6x+200}.$$

Основание $8>1$, функция $y=8^u$ возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:

$$2x^2-6x+40⩽-2x^2+6x+200\iff 4x^2-12x-160⩽0\iff x^2-3x-40⩽0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $-5$ и $8$ (сумма $3$, произведение $-40$), поэтому $(x+5)(x-8)⩽0$:

Решение второго неравенства: $x\in [-5;8]$.

Пересечение. Промежуток $(-5;-4)$ целиком лежит в $[-5;8]$, а из $[8;9)$ в отрезок $[-5;8]$ попадает только точка $x=8$:

Ответ: $(-5;-4)\cup \{8\}$.