Решите неравенство (4^x-3·2^(x+1)+5)/(log_1/5²(3^x-2)-log_1/5(3^x-2)²+1)≤0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя 2026 развёрнутое

Решите неравенство $\frac{4 ^{x} - 3 \cdot 2 ^{x + 1} + 5}{lo g _{\frac{1}{5}}^{2} ( 3 ^{x} - 2 ) - lo g _{\frac{1}{5}} ( 3 ^{x} - 2 ) ^{2} + 1} ⩽ 0.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $3^{x} - 2 > 0$ и $(3^{x} - 2)^{2} > 0$ (второе следует из первого). Кроме того, знаменатель не равен нулю.

Упростим знаменатель. Так как на ОДЗ $3^{x} - 2 > 0$ , по свойству логарифма степени

$lo g_{\frac{1}{5}} (3^{x} - 2)^{2} = 2 lo g_{\frac{1}{5}} (3^{x} - 2) .$

Обозначим $L = lo g_{\frac{1}{5}} (3^{x} - 2)$ . Знаменатель равен $L^{2} - 2 L + 1 = (L - 1)^{2}$ — полный квадрат.

Числитель. Запишем $4^{x} = (2^{x})^{2}$ и $3 \cdot 2^{x + 1} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{x} = 6 \cdot 2^{x}$ . По теореме Виета корни трёхчлена $s^{2} - 6 s + 5$ равны $1$ и $5$ , поэтому

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 5 = (2^{x})^{2} - 6 \cdot 2^{x} + 5 = (2^{x} - 1) (2^{x} - 5) .$

Неравенство принимает вид

$\frac{( 2 ^{x} - 1 ) ( 2 ^{x} - 5 )}{( lo g _{\frac{1}{5}} ( 3 ^{x} - 2 ) - 1 ) ^{2}} ⩽ 0.$

Запишем ОДЗ полностью. Условие $3^{x} - 2 > 0$ : $3^{x} > 2 = 3^{l o g_{3} 2}$ , основание $3 > 1$ , значит, $x > lo g_{3} 2$ . Условие на знаменатель: $lo g_{\frac{1}{5}} (3^{x} - 2) \neq = 1 = lo g_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5}$ , то есть

$3^{x} - 2 \neq = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 3^{x} \neq = 2, 2 \Leftrightarrow x \neq = lo g_{3} 2, 2.$

Так как $2 < 2, 2$ и основание $3 > 1$ , то $lo g_{3} 2 < lo g_{3} 2, 2$ . ОДЗ: $x \in (lo g_{3} 2; lo g_{3} 2, 2) \cup (lo g_{3} 2, 2; + \infty)$ .

Решение на числовой прямой

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть строго положителен. Поэтому дробь неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель:

$(2^{x} - 1) (2^{x} - 5) ⩽ 0.$

Применим метод рационализации: при основании $2 > 1$ разность $2^{f} - 2^{g}$ имеет тот же знак, что и $f - g$ . Запишем $1 = 2^{0}$ и $5 = 2^{l o g_{2} 5}$ :

$(2^{x} - 2^{0}) (2^{x} - 2^{l o g_{2} 5}) ⩽ 0 \Leftrightarrow x (x - lo g_{2} 5) ⩽ 0.$

Решим методом интервалов, точки закрашиваем ( $lo g_{2} 5 > 0$ ):

Метод интервалов

Получаем $0 ⩽ x ⩽ lo g_{2} 5$ .

Пересечём с ОДЗ. Сравним числа: $lo g_{3} 2 > lo g_{3} 1 = 0$ , а $lo g_{3} 2, 2 < lo g_{3} 3 = 1 < 2 = lo g_{2} 4 < lo g_{2} 5$ . Значит, $0 < lo g_{3} 2 < lo g_{3} 2, 2 < lo g_{2} 5$ :

Решение на числовой прямой

Ответ: $(lo g_{3} 2; lo g_{3} 2, 2) \cup (lo g_{3} 2, 2; lo g_{2} 5]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16