ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен: $x^2-16>0$, то есть $(x-4)(x+4)>0$:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-4)\cup (4;+\infty )$.

Сделаем замену $t={\log }_3\left(x^2-16\right)$. Неравенство принимает вид

$$t^2-5t+6⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $2$ и $3$ (сумма $5$, произведение $6$), поэтому

$$(t-2)(t-3)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашиваем:

$$[\begin{array}{l}t⩽2,\\ t⩾3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $2={\log }_{3}9$ и $3={\log }_{3}27$. Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}u$ возрастает, поэтому знаки неравенств для аргументов сохраняются; при этом аргумент обязан оставаться положительным:

$$[\begin{array}{l}{\log }_3\left(x^2-16\right)⩽{\log }_{3}9,\\ {\log }_3\left(x^2-16\right)⩾{\log }_{3}27\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x^2-16⩽9,\\ x^2-16⩾27.\end{array}$$

Первое двойное неравенство: $16<x^2⩽25$. Условие $x^2⩽25$ означает $(x-5)(x+5)⩽0$, то есть $-5⩽x⩽5$:

Условие $x^2>16$ уже решено выше: $x<-4$ или $x>4$. Пересекаем:

Получаем $x\in [-5;-4)\cup (4;5]$.

Второе неравенство: $x^2⩾43$, то есть $\left(x-\sqrt{43}\right)\left(x+\sqrt{43}\right)⩾0$. Здесь $x^2-16⩾27>0$, так что ОДЗ выполнена автоматически:

Получаем $x⩽-\sqrt{43}$ или $x⩾\sqrt{43}$.

Объединим решения. Так как $43>25$, имеем $\sqrt{43}>5$, и промежутки не пересекаются.

Ответ: $\left(-\infty ;-\sqrt{43}\right]\cup [-5;-4)\cup (4;5]\cup \left[\sqrt{43};+\infty \right)$.