ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-32>0,\\ 2^{x+2}>0,\\ {\log }_2\left(4^x-32\right)-{\log }_2\left(2^{x+2}\right)\ne 0.\end{array}$$

Второе условие выполняется при всех $x$. Первое: $4^x=2^{2x}$, $32=2^5$, основание $2>1$, поэтому

$$2^{2x}>2^5\iff 2x>5\iff x>\frac{5}{2}.$$

Третье условие учтём при рационализации знаменателя.

Числитель свернём по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$25x^2-160x+256=(5x{)}^2-2\cdot 5x\cdot 16+16^2=(5x-16{)}^2.$$

Знаменатель. Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, поэтому при положительных $A$ и $B$ разность ${\log }_{2}A-{\log }_{2}B$ имеет тот же знак, что и $A-B$, и обращается в ноль одновременно с ней. Это метод рационализации: заменим знаменатель на

$$\left(4^x-32\right)-2^{x+2}={\left(2^x\right)}^2-4\cdot 2^x-32.$$

Здесь мы использовали $2^{x+2}=2^2\cdot 2^x=4\cdot 2^x$. Обозначим $t=2^x$. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-4t-32$ равны $8$ и $-4$ (сумма $4$, произведение $-32$), поэтому

$$t^2-4t-32=(t-8)(t+4)=\left(2^x-8\right)\left(2^x+4\right).$$

Множитель $2^x+4$ положителен при всех $x$ и на знак не влияет. Множитель $2^x-8=2^x-2^3$ по той же рационализации (основание $2>1$) имеет тот же знак, что и $x-3$. Поэтому на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

$$\frac{(5x-16{)}^2}{x-3}⩽0.$$

Условие $x\ne 3$ (знаменатель не ноль) как раз отвечает третьему условию ОДЗ.

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=\frac{16}{5}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=3$ выкалываем. При $x>\frac{16}{5}$ дробь положительна, при переходе через $\frac{16}{5}$ знак сохраняется (квадрат), при переходе через $3$ — меняется:

Получаем $x<3$ или $x=\frac{16}{5}$. Пересечём с условием $x>\frac{5}{2}$. Так как $\frac{5}{2}<3<\frac{16}{5}$, из промежутка $(-\infty ;3)$ остаётся $\left(\frac{5}{2};3\right)$, а точка $\frac{16}{5}$ сохраняется.

Ответ: $\left(\frac{5}{2};3\right)\cup \left\{\frac{16}{5}\right\}$.