ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}x\sqrt{3}>0,\\ \frac{x}{1-x}>0,\\ 9x^2+\frac{1}{x}-4>0.\end{array}$$

Первое неравенство даёт $x>0$.

Второе решим методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ и нуль знаменателя $x=1$ выкалываем, так как неравенство строгое. При $x>1$ числитель положителен, а знаменатель $1-x$ отрицателен, дробь отрицательна; дальше знаки чередуются:

Получаем $0<x<1$. Третье условие проверим позже — оно выполнится автоматически.

Преобразуем левую часть. По свойству логарифма степени $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$):

$$2{\log }_3\left(x\sqrt{3}\right)={\log }_3{\left(x\sqrt{3}\right)}^2={\log }_3\left(3x^2\right).$$

По свойству логарифма частного ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_3\left(3x^2\right)-{\log }_3\frac{x}{1-x}={\log }_3\left(3x^2\cdot \frac{1-x}{x}\right)={\log }_3(3x(1-x)).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_3(3x(1-x))⩽{\log }_3\left(9x^2+\frac{1}{x}-4\right).$$

Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, поэтому при положительных аргументах неравенство равносильно сравнению аргументов с тем же знаком. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}3x(1-x)⩽9x^2+\frac{1}{x}-4,\\ 9x^2+\frac{1}{x}-4>0,\\ 0<x<1.\end{array}$$

При $0<x<1$ оба множителя $3x$ и $1-x$ положительны, поэтому $3x(1-x)>0$. Тогда из первого неравенства следует $9x^2+\frac{1}{x}-4⩾3x(1-x)>0$, то есть второе условие выполняется автоматически, и его можно не решать.

Решим первое неравенство. Перенесём всё в левую часть:

$$3x-3x^2-9x^2-\frac{1}{x}+4⩽0.$$

Умножим обе части на $x>0$, знак сохраняется:

$$-12x^3+3x^2+4x-1⩽0\iff 12x^3-3x^2-4x+1⩾0.$$

Разложим левую часть на множители группировкой:

$$12x^3-3x^2-4x+1=3x^2(4x-1)-(4x-1)=(4x-1)\left(3x^2-1\right).$$

По формуле разности квадратов $3x^2-1=3\left(x^2-\frac{1}{3}\right)=3\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Разделив на $3>0$, получаем

$$(4x-1)\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Все нули закрашиваем. Расположим их по порядку: $\frac{1}{4}<\frac{1}{\sqrt{3}}$, так как $\sqrt{3}<4$. При $x>\frac{1}{\sqrt{3}}$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $x\in \left[-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right)$. Пересечём с условием $0<x<1$: из первого промежутка остаётся $\left(0;\frac{1}{4}\right]$, из второго — $\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right)$, так как $\frac{1}{\sqrt{3}}<1$.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right)$.