ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-128>0,\\ 2^{x+3}>0,\\ 25x^2-180x+324\ne 0.\end{array}$$

Второе условие выполняется при всех $x$, так как показательная функция положительна.

Первое условие. Запишем $4^x={\left(2^2\right)}^x=2^{2x}$ и $128=2^7$. Основание $2>1$, функция $y=2^u$ возрастает, поэтому

$$2^{2x}>2^7\iff 2x>7\iff x>3,5.$$

Третье условие. Знаменатель — полный квадрат по формуле $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$$25x^2-180x+324=(5x{)}^2-2\cdot 5x\cdot 18+18^2=(5x-18{)}^2.$$

Он равен нулю при $x=\frac{18}{5}=3,6$, значит, $x\ne 3,6$.

ОДЗ: $x\in (3,5;3,6)\cup (3,6;+\infty )$.

На ОДЗ знаменатель $(5x-18{)}^2$ строго положителен, поэтому дробь неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель:

$${\log }_4\left(4^x-128\right)-{\log }_4{2}^{x+3}⩽0.$$

Применим метод рационализации: если $a>0$, $a\ne 1$ и $f>0$, $g>0$, то разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(f-g)$. Здесь $a=4$, а $2^{x+3}=2^3\cdot 2^x=8\cdot 2^x$:

$$(4-1)\left(4^x-128-8\cdot 2^x\right)⩽0\iff 4^x-8\cdot 2^x-128⩽0.$$

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$; тогда $4^x=t^2$:

$$t^2-8t-128⩽0.$$

Найдём корни: $D=64+4\cdot 128=576=24^2$, $t_1=\frac{8-24}{2}=-8$, $t_2=\frac{8+24}{2}=16$. Значит,

$$(t+8)(t-16)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашиваем:

Получаем $-8⩽t⩽16$. С учётом $t>0$ остаётся $0<t⩽16$:

Сделаем обратную замену. Условие $2^x>0$ выполняется всегда, а $2^x⩽16=2^4$ при основании $2>1$ равносильно $x⩽4$.

Пересечём с ОДЗ. Так как $3,5<3,6<4$:

Ответ: $(3,5;3,6)\cup (3,6;4]$.