ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим знаменатель первой дроби на множители. По теореме Виета корни трёхчлена $x^2+3x-4$ равны $-4$ и $1$ (сумма $-3$, произведение $-4$), поэтому $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne -4$ и $x\ne 1$.

Числитель первой дроби: вынесем $x^2$ и заметим полный квадрат:

$$x^4+8x^3+16x^2=x^2\left(x^2+8x+16\right)=x^2(x+4{)}^2.$$

На ОДЗ первую дробь можно сократить на $x+4\ne 0$:

$$\frac{x^2(x+4{)}^2}{(x+4)(x-1)}=\frac{x^2(x+4)}{x-1}.$$

После сокращения точка $x=-4$ из записи исчезает, поэтому условие $x\ne -4$ учтём отдельно в конце.

Перенесём $1$ в левую часть, записав $1=\frac{x-1}{x-1}$, и сведём всё к одной дроби:

$$\frac{x^2(x+4)-\left(2x^3+4x^2-x+9\right)-(x-1)}{x-1}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$x^3+4x^2-2x^3-4x^2+x-9-x+1=-x^3-8.$$

Получаем $\frac{-x^3-8}{x-1}⩽0$. Умножим обе части на $-1$, знак неравенства меняется:

$$\frac{x^3+8}{x-1}⩾0.$$

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$:

$$x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right).$$

Множитель $x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3$ положителен при всех $x$, поэтому на него можно разделить, знак неравенства не изменится:

$$\frac{x+2}{x-1}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=-2$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=1$ выкалываем:

Получаем $x⩽-2$ или $x>1$. Учтём условие $x\ne -4$:

Ответ: $(-\infty ;-4)\cup (-4;-2]\cup (1;+\infty )$.