ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим на множители выражение под первым логарифмом. Корни трёхчлена $x^2-2x-8$ найдём по теореме Виета: их сумма равна $2$, произведение $-8$, это числа $-2$ и $4$. Значит, $x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$ и

$$(x-4)\left(x^2-2x-8\right)=(x-4)(x-4)(x+2)=(x-4{)}^2(x+2).$$

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x-4{)}^2(x+2)>0,\\ (x-4{)}^2>0.\end{array}$$

Второе условие означает $x\ne 4$. При $x\ne 4$ множитель $(x-4{)}^2$ положителен, и первое условие сводится к $x+2>0$:

ОДЗ: $x>-2$, $x\ne 4$.

По свойству логарифма ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ перейдём к основанию $5$:

$${\log }_{25}\left((x-4{)}^2(x+2)\right)={\log }_{5^2}\left((x-4{)}^2(x+2)\right)=0,5{\log }_5\left((x-4{)}^2(x+2)\right).$$

Неравенство принимает вид

$$0,5{\log }_5\left((x-4{)}^2(x+2)\right)⩾0,5{\log }_5(x-4{)}^2.$$

Умножим обе части на $2>0$:

$${\log }_5\left((x-4{)}^2(x+2)\right)⩾{\log }_5(x-4{)}^2.$$

Основание $5>1$, функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно сравнению аргументов с тем же знаком:

$$(x-4{)}^2(x+2)⩾(x-4{)}^2.$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x-4{)}^2$:

$$(x-4{)}^2(x+2-1)⩾0\iff (x-4{)}^2(x+1)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль $x=-1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Точку $x=4$ выкалываем, так как она не входит в ОДЗ. При $x>4$ выражение положительно, при переходе через $x=4$ знак сохраняется (квадрат), при переходе через $x=-1$ меняется:

Получаем $x\in [-1;4)\cup (4;+\infty )$. Так как $-1>-2$, все эти значения входят в ОДЗ.

Ответ: $[-1;4)\cup (4;+\infty )$.