ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$. Заметим, что $4^u={\left(2^2\right)}^u={\left(2^u\right)}^2$, поэтому

$$4^{-x^2+6x-4}={\left(2^{-x^2+6x-4}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=2^{-x^2+6x-4}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Неравенство принимает вид

$$t^2-34t+64⩾0.$$

Найдём корни трёхчлена: $D=34^2-4\cdot 64=1156-256=900=30^2$, $t_1=\frac{34-30}{2}=2$, $t_2=\frac{34+30}{2}=32$. Значит,

$$(t-2)(t-32)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашиваем:

Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽2,\\ t⩾32.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $t>0$ выполняется всегда. Запишем $2=2^1$, $32=2^5$. Основание $2>1$, функция $y=2^u$ возрастает, поэтому знаки неравенств для показателей сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{2}^{-x^2+6x-4}⩽2^1,\\ 2^{-x^2+6x-4}⩾2^5\end{array}\iff [\begin{array}{l}-x^2+6x-4⩽1,\\ -x^2+6x-4⩾5\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-6x+5⩾0,\\ x^2-6x+9⩽0.\end{array}$$

Первое неравенство. По теореме Виета корни трёхчлена $x^2-6x+5$ равны $1$ и $5$, поэтому $(x-1)(x-5)⩾0$:

Получаем $x⩽1$ или $x⩾5$.

Второе неравенство: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2⩽0$. Квадрат неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только при $(x-3{)}^2=0$, то есть при $x=3$. Это видно и из того, что $-x^2+6x-4=5-(x-3{)}^2$: показатель не больше $5$ и равен $5$ только в вершине параболы $x=3$.

Объединим решения совокупности:

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \{3\}\cup [5;+\infty )$.