ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}4x^2-1>0,\\ x>0,\\ 5x+\frac{9}{x}-11>0.\end{array}$$

Первое неравенство: $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)>0$. Точки $\pm \frac{1}{2}$ выкалываем, ветви параболы направлены вверх:

Вместе с условием $x>0$ получаем $x>\frac{1}{2}$.

Третье неравенство. Приведём к общему знаменателю:

$$5x+\frac{9}{x}-11=\frac{5x^2-11x+9}{x}.$$

Дискриминант числителя $D=121-180=-59<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому $5x^2-11x+9>0$ при всех $x$. При $x>0$ знаменатель тоже положителен, значит, третье условие выполнено автоматически.

Итак, ОДЗ: $x>\frac{1}{2}$.

На ОДЗ применим формулу логарифма частного ${\log }_{2}a-{\log }_{2}b={\log }_2\frac{a}{b}$:

$${\log }_2\frac{4x^2-1}{x}⩽{\log }_2\frac{5x^2-11x+9}{x}.$$

Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ (где оба аргумента положительны) неравенство равносильно сравнению аргументов с тем же знаком:

$$\frac{4x^2-1}{x}⩽\frac{5x^2-11x+9}{x}.$$

Умножим обе части на $x>0$, знак неравенства сохраняется:

$$4x^2-1⩽5x^2-11x+9\iff x^2-11x+10⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $x^2-11x+10$ равны $1$ и $10$ (сумма $11$, произведение $10$), поэтому

$$(x-1)(x-10)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашиваем:

Получаем $x⩽1$ или $x⩾10$. Пересечём с ОДЗ $x>\frac{1}{2}$: из промежутка $(-\infty ;1]$ остаётся $\left(\frac{1}{2};1\right]$, промежуток $[10;+\infty )$ входит целиком.

Ответ: $\left(\frac{1}{2};1\right]\cup [10;+\infty )$.