ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $x>0$, $\frac{x}{9}>0$, $\frac{x}{3}>0$ — всё это даёт $x>0$. Знаменатели не равны нулю:

$${\log }_5\frac{x}{9}\ne 0\iff \frac{x}{9}\ne 1\iff x\ne 9;{\log }_2\frac{x}{3}\ne 0\iff x\ne 3;2-{\log }_{3}x\ne 0\iff x\ne 9.$$

Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne 3$, $x\ne 9$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию ${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$, прочитав её справа налево. Она применима, так как на ОДЗ основания $\frac{x}{9}$ и $\frac{x}{3}$ положительны и не равны единице:

$$\frac{{\log }_{5}9}{{\log }_5\frac{x}{9}}={\log }_{\frac{x}{9}}9,\frac{{\log }_{2}3}{{\log }_2\frac{x}{3}}={\log }_{\frac{x}{3}}3.$$

Преобразуем скобку. Сменим знак в знаменателе дроби и запишем $2={\log }_{3}9$:

$$1-\frac{1}{2-{\log }_{3}x}=1+\frac{1}{{\log }_{3}x-{\log }_{3}9}=1+\frac{1}{{\log }_3\frac{x}{9}}.$$

Неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

$${\log }_{\frac{x}{9}}9⩽\left(1+\frac{1}{{\log }_3\frac{x}{9}}\right)\cdot {\log }_{\frac{x}{3}}3.$$

Сделаем замену $t=\frac{x}{9}$, тогда $\frac{x}{3}=3t$. Из ОДЗ: $t>0$, $t\ne 1$ (так как $x\ne 9$) и $3t\ne 1$, то есть $t\ne \frac{1}{3}$ (так как $x\ne 3$):

$${\log }_{t}9⩽\left(1+\frac{1}{{\log }_{3}t}\right)\cdot {\log }_{3t}3.$$

Упростим правую часть по шагам.

1. По формуле $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$ (верна при $t>0$, $t\ne 1$) получаем $\frac{1}{{\log }_{3}t}={\log }_{t}3$.

2. Запишем $1={\log }_{t}t$ и сложим логарифмы по формуле логарифма произведения: $1+{\log }_{t}3={\log }_{t}t+{\log }_{t}3={\log }_t(3t)$.

3. По формуле ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$ (это та же формула перехода, основание $3t$ положительно и не равно единице): ${\log }_t(3t)\cdot {\log }_{3t}3={\log }_{t}3$.

Левую часть преобразуем по свойству логарифма степени: ${\log }_{t}9={\log }_t{3}^2=2{\log }_{t}3$. Неравенство принимает вид

$$2{\log }_{t}3⩽{\log }_{t}3\iff {\log }_{t}3⩽0.$$

Основание переменное, применим метод рационализации. Если $t>1$, то ${\log }_{t}b>0$ при $b>1$; если $0<t<1$, то ${\log }_{t}b>0$ при $b<1$. Значит, при $t>0$, $t\ne 1$ знак ${\log }_{t}b$ совпадает со знаком произведения $(t-1)(b-1)$. Здесь $b=3$:

$$(t-1)(3-1)⩽0\iff t⩽1.$$

Значение $t=1$ исключено ОДЗ (и действительно, ${\log }_{t}3$ в ноль не обращается), поэтому $t<1$. Учтём условия $t>0$ и $t\ne \frac{1}{3}$:

Сделаем обратную замену: $0<\frac{x}{9}<1\iff 0<x<9$, а $\frac{x}{9}\ne \frac{1}{3}\iff x\ne 3$. Полученное множество лежит в ОДЗ.

Ответ: $(0;3)\cup (3;9)$.