ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$. Представим все степени через степени чисел $3$ и $5$. Воспользуемся свойствами степени: $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$, ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$, $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$:

$$45^x=(9\cdot 5{)}^x=3^{2x}\cdot 5^x,27^x=3^{3x},15^x=3^x\cdot 5^x,9^x=3^{2x},3^{x+2}=9\cdot 3^x.$$

Обозначим $a=3^x$ и $b=5^x$, оба числа положительны. Тогда $3^{2x}=a^2$, $3^{3x}=a^3$, и неравенство принимает вид

$$3a^{2}b-3a^3-28ab+28a^2+9b-9a⩽0.$$

Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой паре вынесем общий множитель:

$$3a^2(b-a)-28a(b-a)+9(b-a)⩽0.$$

Во всех трёх слагаемых появилась скобка $(b-a)$, вынесем её:

$$(b-a)\left(3a^2-28a+9\right)⩽0.$$

Разложим квадратный трёхчлен $3a^2-28a+9$ на множители. Его дискриминант

$$D=(-28{)}^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676=26^2,$$

корни $a_1=\frac{28-26}{6}=\frac{1}{3}$ и $a_2=\frac{28+26}{6}=9$. Значит,

$$3a^2-28a+9=3\left(a-\frac{1}{3}\right)(a-9)=(3a-1)(a-9).$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$\left(5^x-3^x\right)\left(3\cdot 3^x-1\right)\left(3^x-9\right)⩽0.$$

Применим метод рационализации: если основание $c>1$, то функция $y=c^u$ возрастает, и разность $c^f-c^g$ имеет тот же знак, что и $f-g$ (и обращается в ноль одновременно с ней). Запишем каждую скобку как разность степеней с одним основанием.

Первая скобка: $5^x-3^x=3^x\left({\left(\frac{5}{3}\right)}^x-{\left(\frac{5}{3}\right)}^0\right)$. Множитель $3^x>0$ на знак не влияет, основание $\frac{5}{3}>1$, поэтому знак $5^x-3^x$ совпадает со знаком $x-0=x$.

Вторая скобка: $3\cdot 3^x-1=3^{x+1}-3^0$, основание $3>1$, её знак совпадает со знаком $(x+1)-0=x+1$.

Третья скобка: $3^x-9=3^x-3^2$, её знак совпадает со знаком $x-2$.

Заменив каждую скобку на множитель того же знака, получаем равносильное неравенство

$$x(x+1)(x-2)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, все точки $-1$, $0$, $2$ закрашиваем. При $x>2$ все множители положительны, все корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $x⩽-1$ или $0⩽x⩽2$.

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup [0;2]$.