ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно: $x^2-7⩾0$. Знаменатель не равен нулю: $5-\sqrt{x^2-7}\ne 0$.

Сделаем замену $t=\sqrt{x^2-7}$. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $t⩾0$, а из условия на знаменатель $t\ne 5$. Неравенство принимает вид

$$t<1+\frac{4}{5-t}.$$

Знак знаменателя $5-t$ заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$t-1-\frac{4}{5-t}<0\iff \frac{(t-1)(5-t)-4}{5-t}<0.$$

Раскроем скобки в числителе: $(t-1)(5-t)=5t-t^2-5+t=-t^2+6t-5$. Вычтем $4$:

$$-t^2+6t-9=-\left(t^2-6t+9\right)=-(t-3{)}^2.$$

Знаменатель тоже запишем с минусом: $5-t=-(t-5)$. Минусы в числителе и знаменателе сокращаются:

$$\frac{-(t-3{)}^2}{-(t-5)}<0\iff \frac{(t-3{)}^2}{t-5}<0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство строгое, поэтому нуль числителя $t=3$ выкалываем: там дробь равна нулю, а нам нужны отрицательные значения. Нуль знаменателя $t=5$ тоже выкалываем. При $t>5$ дробь положительна. При переходе через $t=5$ знак меняется, а при переходе через $t=3$ сохраняется, так как множитель $(t-3)$ стоит в квадрате:

Получаем $t<5$, $t\ne 3$. Учтём условие $t⩾0$:

$$\{\begin{array}{l}0⩽t<5,\\ t\ne 3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $\sqrt{x^2-7}⩾0$ выполняется везде, где корень существует, то есть при $x^2-7⩾0$. Обе части неравенства $\sqrt{x^2-7}<5$ неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: $x^2-7<25$. Условие $\sqrt{x^2-7}\ne 3$ равносильно $x^2-7\ne 9$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-7⩾0,\\ x^2-7<25,\\ x^2-7\ne 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2⩾7,\\ x^2<32,\\ x^2\ne 16.\end{array}$$

Первое неравенство: $x^2-7⩾0\iff \left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)⩾0$. Точки закрашиваем, ветви параболы направлены вверх:

Второе неравенство: так как $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, имеем $x^2-32<0\iff \left(x-4\sqrt{2}\right)\left(x+4\sqrt{2}\right)<0$. Точки выкалываем:

Третье условие: $x\ne \pm 4$.

Пересечём все условия. Расположим точки по порядку: из $7<16<32$ следует $\sqrt{7}<4<4\sqrt{2}$.

Ответ: $\left(-4\sqrt{2};-4\right)\cup \left(-4;-\sqrt{7}\right]\cup \left[\sqrt{7};4\right)\cup \left(4;4\sqrt{2}\right)$.