ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны: $x>0$, $\frac{x}{27}>0$, $x^3>0$ — все три условия дают $x>0$. Кроме того, ни один знаменатель не должен обращаться в ноль: ${\log }_3\frac{x}{27}\ne 0$, ${\log }_{3}x\ne 0$, ${\log }_3^{2}x-{\log }_3\left(x^3\right)\ne 0$. Эти условия удобнее учесть после замены.

Упростим логарифмы при $x>0$. По свойству логарифма частного

$${\log }_3\frac{x}{27}={\log }_{3}x-{\log }_{3}27={\log }_{3}x-3.$$

По свойству логарифма степени ${\log }_3\left(x^3\right)=3{\log }_{3}x$.

Сделаем замену $y={\log }_{3}x$. Неравенство принимает вид

$$\frac{y}{y-3}⩾\frac{2}{y}+\frac{5}{y^2-3y}.$$

Условия на знаменатели: $y-3\ne 0$, $y\ne 0$ и $y^2-3y=y(y-3)\ne 0$. Все они сводятся к $y\ne 0$, $y\ne 3$.

Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому умножать на них нельзя. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $y(y-3)$: первую дробь домножим на $y$, вторую — на $y-3$, третья уже имеет нужный знаменатель:

$$\frac{y^2-2(y-3)-5}{y(y-3)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $y^2-2y+6-5=y^2-2y+1$. Это полный квадрат: $y^2-2y+1=(y-1{)}^2$. Получаем

$$\frac{(y-1{)}^2}{y(y-3)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $y=1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое и дробь в этой точке равна нулю. Нули знаменателя $y=0$ и $y=3$ выкалываем. При $y>3$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через $y=3$ и $y=0$ знак меняется, так как эти множители стоят в первой степени. При переходе через $y=1$ знак сохраняется, так как множитель $(y-1)$ стоит в квадрате:

Нам подходят промежутки со знаком «плюс» и точка $y=1$, где дробь равна нулю:

$$[\begin{array}{l}y<0,\\ y=1,\\ y>3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $3$: $0={\log }_{3}1$, $1={\log }_{3}3$, $3={\log }_{3}27$. Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются, а неравенство ${\log }_{3}x<{\log }_{3}1$ при $x>0$ означает $0<x<1$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}1,\\ {\log }_{3}x={\log }_{3}3,\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}27\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=3,\\ x>27.\end{array}$$

Условия $y\ne 0$ и $y\ne 3$ означают $x\ne 1$ и $x\ne 27$; найденные значения им удовлетворяют и положительны, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: $(0;1)\cup \{3\}\cup (27;+\infty )$.