ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: логарифм ${\log }_{125}x$ определён при $x>0$.

Упростим логарифмы по свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{b}^m=m{\log }_{a}b$:

$${\log }_{125}x={\log }_{5^3}x=\frac{1}{3}{\log }_{5}x,{\log }_{8}16={\log }_{2^3}{2}^4=\frac{4}{3}{\log }_{2}2=\frac{4}{3}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{1}{3}(2^x-2{)}^2{\log }_{5}x<\frac{4}{3}\left(4^x-2^{x+2}\right)+\frac{16}{3}.$$

Умножим обе части на $3>0$, знак сохранится:

$$(2^x-2{)}^2{\log }_{5}x<4\left(4^x-2^{x+2}\right)+16=4\left(4^x-2^{x+2}+4\right).$$

Выражение в скобках — полный квадрат. Так как $4^x={\left(2^x\right)}^2$ и $2^{x+2}=4\cdot 2^x=2\cdot 2\cdot 2^x$, по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ получаем

$$4^x-2^{x+2}+4={\left(2^x\right)}^2-2\cdot 2\cdot 2^x+2^2=(2^x-2{)}^2.$$

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

$$(2^x-2{)}^2{\log }_{5}x-4(2^x-2{)}^2<0\iff (2^x-2{)}^2\left({\log }_{5}x-4\right)<0.$$

Множитель $(2^x-2{)}^2$ неотрицателен как квадрат. Он равен нулю при $2^x=2$, то есть при $x=1$; тогда левая часть равна нулю, и строгое неравенство не выполняется. Значит, $x=1$ не входит в ответ. При $x\ne 1$ квадрат строго положителен, и на него можно разделить, сохранив знак:

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{5}x-4<0,\\ x\ne 1.\end{array}$$

Запишем $4={\log }_{5}625$. Основание $5>1$, логарифм возрастает, поэтому с учётом ОДЗ

$${\log }_{5}x<{\log }_{5}625\iff 0<x<625.$$

Итак, $0<x<625$ и $x\ne 1$.

Ответ: $(0;1)\cup (1;625)$.