ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Так как $49^x={\left(7^x\right)}^2$, сделаем замену $t=7^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}⩽t+5.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 5$, $t\ne 7$.

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-5)(t-7)$:

$$\frac{(t^2-6t+3)(t-7)+(6t-39)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-7)}{(t-5)(t-7)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе по отдельности:

$$(t^2-6t+3)(t-7)=t^3-7t^2-6t^2+42t+3t-21=t^3-13t^2+45t-21;$$

$$(6t-39)(t-5)=6t^2-30t-39t+195=6t^2-69t+195;$$

$$(t+5)(t-5)(t-7)=(t^2-25)(t-7)=t^3-7t^2-25t+175.$$

Сложим первые два выражения и вычтем третье. Кубы и квадраты сокращаются: $t^3-t^3=0$, $-13t^2+6t^2+7t^2=0$. Для остальных слагаемых $45t-69t+25t=t$ и $-21+195-175=-1$. Числитель равен $t-1$:

$$\frac{t-1}{(t-5)(t-7)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=5$ и $t=7$ выкалываем. Правее $7$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽1$ или $5<t<7$. Учтём условие $t>0$:

$$0<t⩽1\text{или}5<t<7.$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $7^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $1=7^0$, $7=7^1$ и по основному логарифмическому тождеству $5=7^{{\log }_{7}5}$. Функция $y=7^x$ возрастает, так как $7>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{7}^x⩽7^0,\\ 7^{{\log }_{7}5}<7^x<7^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ {\log }_{7}5<x<1.\end{array}$$

Так как $1<5<7$, то $0<{\log }_{7}5<1$.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup ({\log }_{7}5;1)$.